Главная > Математика > Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12. Интеграл

Пусть в области задано дифференциальное уравнение

так, что через каждую точку этой области проходит и только одно решение данного дифференциального уравнения. Предположим, имеется функция определенная в D и такая, что при каждом постоянном С равенство

определяет решение уравнения (12.1). Здесь С — одно из значений в области Такую функцию будем называть интегралом уравнения (12.1) в области

Свойства сохраняет постоянное значение вдоль всякого решения, проходящего в области Действительно, возьмем на решении точку Получим Следовательно, при равенство

определяет и притом только одно решение

с начальными условиями при Будем двигаться вдоль этого решения. Получим совокупность точек удовлетворяющих равенству (12.3), так как (12.4) получена из (12.3) и, следовательно, координаты точек

удовлетворяют (12.3).

И. Если — дифференцируемая по х и у функция, та вдоль решения имеем

так как вдоль решения постоянна. Следовательно, в есть дифференциал решения. Но вдоль всякого решения имеем поэтому

или

так как

Заметим, что (12.5) выполнено для всех решений, т. е. при любом у, поэтому (12.6) есть тождество относительно х и у. Таким образом, дифференцируемый интеграл обладает тем свойством, что его полный дифференциал (12.5) тождественно равен нулю в силу заданного дифференциального уравнения (т. е. после замены его значением из дифференциального уравнения).

Если воспользуемся первой записью дифференциального уравнения (12.1), то вместо (12.6) получим

Коротко это свойство интеграла можно записать так:

в силу (12.1). Докажем, что если функция и определенная в области обладает свойствами:

то равенство (12.2) определяет в окрестности каждой точки

функцию которая будет решением уравнения (12.1).

Доказательство. Так как имеем 2), то, например, пусть Отсюда следует, что равенство (12.2) определяет при всяком С, согласно теореме о неявных функциях, функцию Вдоль этой функции имеем

(Вдоль этой функции — это значит после замены здесь у и основании Мы получим также на основании 1)

в силу (12.1), т. е. имеем (12.6).

Следовательно, имеем

и

где

Таким образом, функция определенная равенством (12.2), при всяком С удовлетворяет обоим равенствам (12.10) и (12.11), откуда следует, что эта функция удовлетворяет уравнению (12.1) (второму). Утверждение доказано. Мы видим, таким образом, что интеграл (12.2) есть функция, возникающая при определении общего решения. А рассуждения об интеграле (12.2) являются в сущности иной трактовкой общего решения.

Теорема 12.1. Если уравнение

в области где имеет дифференцируемый (по интеграл и то это уравнение имеет и интегрирующий множитель.

Доказательство. Имеем

в силу т. е.

Отсюда

Поэтому

что и требовалось доказать.

Теорема 12.2. Если - интегрирующий множитель, а — соответствующий интеграл, т. е.

то

где — произвольная непрерывная (или интегрируемая) функция, тоже интегрирующий множитель.

Действительно,

что и требовалось доказать.

Таким образом, если есть один интегрирующий множитель (интеграл), то их существует и бесконечное множество.

Теорема 12.3. Любые два интеграла определенные и непрерывно дифференцируемые в области где

зависимы между собой, т.е.

где — непрерывно дифференцируемая функция от Доказательство. Равенства

определяют решения в области При фиксированном из первого равенства получим решение Так как вдоль решения функция сохраняет постоянное значение, то

не содержит х и зависит только от Поэтому имеем

т. е. значение интеграла в точке определяет значение

Докажем существование Возьмем приращение Получим соответственно приращения

Рассмотрим

Так как и существуют, то существует и Если то, согласно условию теоремы, , и мы проведем такое же рассуждение, давая приращение .

Существование можно доказать и так. По теореме из неявных функций равенство определяет дифференцируемое по решение если Поэтому

дифференцируемо по ибо дифференцируемы по у и по Справедливо и обратное утверждение: если — интеграл, то — интеграл, где определена на значениях в области Действительно, и определена в Пусть С — одно из значений и в Этому С соответствует значение (может быть, не одно). Но равенство определяет решение На этом решении постоянное, равное Но тогда и постоянное на Следовательно, равенство и определяет решение Если — дифференцируемый интеграл, обладающий свойством (12.13), и — дифференцируемая функция с для значений принимаемых в области то есть интеграл, обладающий сюйством (12.13). Доказательство очевидно.

Пример, Это уравнение в полных дифференциалах. в связи с чем можно считать и, как легко видеть, Но интегрирующии множитель и соответственно . По теореме 12.3 существует такая функция что или Так как это тождество, то оно справедливо при любых

. Положим Получим Найдена функция Следовательно, Мы получили известную формулу.

Упражнение. Дано уравнение

имеющее интеграл . Легко видеть, что

есть интегрирующий множитель и

— соответствующий интеграл. Следовательно, имеем

Необходимо найти функцию

Докажем теорему, обратную теореме 12.2.

Теорема 12.4. Пусть — дифференцируемые интегрирующие множители, а — соответствующие интегралы. Тогда найдется интегрируемая функция такая, что т. е. в этой формуле содержатся все интегрирующие множители.

Доказательство. Имеем

Делим второе из этих равенств на первое

Предположим, что в области . Тогда по теореме и

Следовательно, имеем

что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление