Главная > Математика > Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Приведение уравнения n-го порядка к системе n уравнений первого порядка и наоборот

Пусть дано уравнение (3.2). Сопоставим этому уравнению эквивалентную систему первого порядка, обозначив

после чего будем иметь систему уравнений

эквивалентную уравнению (3.2). В самом деле, пусть

является решением уравнения (3.2). Тогда

согласно (4.1), есть решение уравнений (4.2).

Пусть, наоборот,

есть решение системы (4.2). Тогда

есть решение уравнения (3.2). Действительно, мы имеем (согласно уравнениям (4.2))

что и доказывает утверждение.

Пусть теперь дана система уравнений (1.2). Этой системе можно сопоставить эквивалентное одно уравнение (или несколько) с одной неизвестной функцией. Это можно сделать так. Продифференцируем первое из уравнений (1.2)

Подставляя сюда значения из (1.2), получаем

Мы так же получим

Предположим теперь, что из первого уравнения (1.2), из (4.6) и (4.7) можно найти

Подставляя эти значения в уравнение (4.8), получаем

Если отсюда найдем общее решение

то из (4.9) найдем Легко показать, что найденные У и будут доставлять общее решение системы (1.2). Но может случиться, что мы не можем найти (4.9). Тогда получим несколько уравнений с одной неизвестной для некоторых Можно показать, что всегда возможно получить эти уравнения с суммой порядков, равной Но, поступая не наилучшим способом, можно получить и такие уравнения, что сумма их порядков будет больше В этом случае найденные будут содержать число произвольных постоянных Тогда, подставляя

найденные в заданные уравнения (1.2), получаем соотношения между такие, что окончательно останется произвольных постоянных.

Пример. Дана система

Имеем

Так же получим

Подставляя найденные в заданную систему, получаем

поэтому окончательно имеем

Но для заданной системы можно было и избежать появления лишних произвольных постоянных. Действительно, найдя

из первого уравнения заданной системы получим

Система уравнений высшего порядка имеет вид

или

Обозначая здесь

через новые неизвестные функции, мы сопоставим заданной системе систему уравнений первого порядка.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление