Главная > Математика > Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Общее, частное и особое решения

Частный случай уравнения (1.3) изучается в интегральном исчислении, именно там рассматривается уравнение

Известно, что все решения этого уравнения даются формулой

где С — произвольная постоянная. Отсюда видим, что для уравнения (2.1) имеем бесконечное множество решений (так как С — произвольное постоянное). Далее мы увидим, что и для уравнения (1.3) при довольно общих предположениях

относительно существует бесконечное множество решений, именно семейство решений

содержащее произвольное постоянное С, изменяющееся в некоторой области (С). Решение вида (2.3) с произвольной постоянной С называется общим решением уравнения (1.3). Часто и общее решение (2.3) находится в неявном виде

где С может быть любым из некоторой области (С). Это равенство определяет в неявном виде общее решение (2.3) уравнения (1.3), если имеем

в силу при всех С из (С), т. е. если имеем

и

Мы увидим далее, что область (С) определяется той областью в которой определено уравнение (1.3), т. е. в которой определена функция и той областью, в которой найдено общее решение. Область (С) может состоять и из конечного числа значений. Например, пусть в уравнении определена так:

Другими словами, определена только на полупрямых . Тогда из (1.3) находим и произвольная постоянная С может принимать только значения т. Если же в области то — произвольное при но при так как определена при только для .

В первых параграфах мы, однако, не будем внимательными к тому, где задана Так, например, беря будем считать, что заданы, вообще говоря, в некоторой области или Речь будет идти об элементарных методах нахождения решений уравнения (1.3), и наши действия будут определены в некоторых областях, где определены функции, входящие в Всякое решение, полученное из общего при частном значении С, называется частным решением.

Пример. Дано дифференциальное уравнение

общим решением которого будет

Решение

будет частным. Но тоже решение уравнения (2.4), и получить его из общего невозможно ни при каком частном значении постоянного С. Решение, которое невозможно получить из общего при частном значении постоянного С, называется особым решением. Далее мы уточним понятия общего и особого решений.

Часто, особенно в приложениях, требуется найти решение задачи Коши, именно требуется найти решение уравнения (1.3), обладающее свойством

где — наперед заданные числа, которые называются начальными значениями. Здесь только предполагается, что в точке или в уравнении (1.3) определено.

Таким образом, в задаче Коши требуется найти решение которое проходило бы через наперед заданную точку в которой определено.

Для уравнения (1.3) можно ставить и другие задачи. Например, можно искать решения ограниченные при всех х, или периодические.

Какие вообще можно ставить задачи при изучении уравнения (1.3)? Например, следующие общие задачи:

1. Найти все решения.

2. Найти решения, обладающие тем или иным свойством.

3. Доказать, что существует решение, обладающее каким-нибудь свойством, если нельзя его найти.

Дифференциальное уравнение (1.3) может быть записано в разных видах. Именно:

или, наконец,

В последней записи роли поменялись: х стало неизвестной функцией, а у — независимой переменной. Часто для полноты

исследования решений уравнения (2.7) надо рассмотреть одновременно и уравнение (2.10).

Теперь рассмотрим методы решений уравнения (1.3). Эти методы возникают при изучении частных случаев уравнения (1.3).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление