Главная > Математика > Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Неоднородная система

Здесь как и предполагаются непрерывными в промежутке и по теореме Пикара обеспечено существование решения задачи Коши при любых конечных значениях

Теорема 2.1. Пусть частное решение неоднородной системы (2.1) т. е.

Тогда общее решение системы (2.1) есть

где есть общее решение соответствующей однородной системы (1.1).

Доказательство. Подставим (2.3) в (2.1). Получим

В силу (2.2) имеем

что и требовалось доказать, так как если в т.е. общее решение уравнений (2.4) с фундаментальной системой решений то всегда найдем такие, чтобы решение (2.3) удовлетворяло любым начальным условиям

Метод Лагранжа позволяет найти решение неоднородной системы, если известна фундаментальная система решений

соответствующей однородной системы (2.4). Покажем это. Итак, пусть известна фундаментальная система решений (2.5) уравнений (2.4). Тогда, согласно теореме 1.3, общее решение уравнений (2.4) есть

т. е. имеем

Будем искать и решение уравнений (2.1) в такой форме, считая функциями от х, пока неизвестными:

Имеем

Подставим это в уравнения (2.1). Получим

на основании (2.7) здесь первые слагаемые сокращаются, поэтому

Так как - фундаментальная система, то определитель этой алгебраической системы уравнений с неизвестными С отличен от нуля. Следовательно, из (2.9) найдем единственные значения

откуда

где — произвольные постоянные. Подставляя это в (2.8), получаем решение неоднородной системы (2.1). Если в (2.11) интегралы фиксированы, например, взяты — произвольные постоянные, то (2.8) дает общее решение уравнений (2.1), а если возьмем определенными, например то получим частное решение уравнений (2.1).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление