Главная > Математика > Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Построение решения задачи Коши

Будем рассматривать задачу (1.10) для уравнения (1.7), которому соответствует обыкновенное уравнение

Пусть

есть соответственно частное и общее решения уравнения (1.7), где, таким образом,

есть интеграл уравнения (2.1).

Мы рассматриваем такую область в которой выполнены условия теоремы существования и единственности для уравнения (2.1). Введем в рассмотрение семейство кривых (2.3) (интегральных для уравнения (2.1)) и кривую

являющуюся проекцией кривой (1.10) на плоскость Согласно предположению, кривые (2.3), соответствующие различным значениям постоянной С, не пересекаются (так как расположены в области единственности интегральных кривых уравнения

Рис. 11

Предположим, что кривая (2.4) проходит в области и не является кривой из семейства (2.3). Тогда каждому значению параметра в (2.4) соответствует определенное значение С в (2.3). И каждому значению С соответствует значение (может быть, не одно, так как кривая (2.4), возможно, пересекает кривую из семейства (2.3) несколько раз). Если это так, то равенство

определяет функцию

в некоторой области изменения . Причем так как и дифференцируемые, то и дифференцируема.

Будем рассматривать какую-нибудь определенную ветвь функции (2.6) и будем считать ее однозначной, т. е. такой, которая соответствует, грубо говоря, расположению кривых (2.3) и (2.4), показанных на рис. 11.

Теперь рассмотрим функцию

Это и есть решение уравнения (1.7), содержащее кривую (1.10), так как

Покажем, что другого решения не существует. Берем общее решение в виде

Найдем такую функцию Ф, чтобы это решение содержало кривую (1.10), т. е. чтобы имело место равенство

Здесь и поэтому

откуда получаем единственное значение Может показаться, что другая ветвь функции (2.6) даст и другое решение задачи. Но это не так, ибо другая ветвь даст решение задачи просто в другой части области или для другой части кривой (2.4).

Теперь будем предполагать, что кривая (2.4) является одной из кривых (2.3). В этом случае вместо (2.5) будем иметь

Формула (2.2) с произвольной функцией Ф содержит все решения. Рассмотрим какое-нибудь решение на кривой (2.4), Получим

Отсюда видим, что решение задачи (1.10) возможно только в том случае, когда

и в этом случае решением будет (2.2) при произвольной функции Ф, удовлетворяющей лишь условию (2.9), где постоянная задается произвольно в условиях Коши согласно (2.10). Таким образом, в этом случае имеем бесконечное множество решений. Необходимым и достаточным условием наличия равенства (2.8) является тождественное выполнение равенства

Действительно, если имеем (2.8), т. е. если кривая (2.4) является кривой из семейства (2.3), то она интегральная кривая уравнения (2.1), откуда и следует утверждение (2.11). Если нало найти решение задачи (1.8), то из равенства

находим

и решение задачи получим в виде

так как

Если (2.12) имеет вид

то решение найдем в виде

лишь при условии, что

т. е. в этом случае (когда будет (2.17)) в (1.8) должно быть в (2.16) удовлетворяет лишь условию (2.17). Плоские пространственные кривые

называются характеристиками уравнения (1.7), где — решение уравнения (1.7), отличное от постоянного (или интеграл уравнения

Рассмотрим любое решение уравнения Пусть точка пробегает какую-нибудь из кривых Тогда, очевидно, сохраняет постоянное значение. Отсюда следует, что всякая интегральная поверхность состоит из характеристик. Из предыдущего следует, что если (1.10) — характеристика, то мы имеем бесконечное число решений.

Пример 1.

Найти решение содержащее прямую

Здесь, как легко видеть, Составляем равенство (2.5): Отсюда будет решением задачи. Если возьмем то будет решением, соответствующим той части прямой (2.19), которая получается при изменении в промежутке Найдем теперь содержащее кривую

Здесь имеем (2.9), поэтому решения нет, так как не является постоянной. Если же надо найти решение содержащее прямую то решение получим в виде

где Ф — произвольная, подчиненная лишь условию

Пример

Найти решение Здесь и имеем т. е. имеем случай (2.15), поэтому решение получим в виде

Пример

Найти решение содержащее кривую

Здесь уравнение (2.11) выполнено, поэтому задача не имеет решения, так как — решение уравнения (2.20), поэтому если вместо берем то решение получим в виде

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление