Главная > Математика > Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Общий метод доказательства существования разложения (1.1)

Теперь перейдем к другому методу определения коэффициентов который не опирается на существование асимптотического разложения. Снова будем рассматривать уравнение (3.1) и уравнение

В этом методе можно считать и функциями от Равенство мы доказали на основании (2.6), т. е. доказали (2.7):

Далее имеем

Пользуясь теоремой Лопиталя, находим

Так как при то предел второго слагаемого равен нулю. Поэтому имеем

И так как то

Отсюда следует, что либо

либо

Выберем значение (4.4), т. е. и рассмотрим

Если окажется, что будет конечным, то выбор будет оправдан и мы получим асимптотическое разложение

где

Здесь может быть и ограниченной функцией, если — функции от так как в нашем рассуждении мы не пользовались тем, что — постоянные.

Итак, рассмотрим

Отсюда видим, что если конечен, то

— произвольное. Так оно и будет: — проивольное

если Это видно из (3.6), так как если то из (3.6) имеем

Продолжая наше рассуждение, находим все коэффициенты а Например, найдем так:

Здесь предел последнего слагаемого равен нулю ввиду того, Поэтому имеем

откуда

Итак, имеем

где

Так шаг за шагом найдем все более далекие члены разложения и докажем во всяком случае асимптотичность разложения. Мы получим легко из этих формул и оценки величин всех или Если то, как видим из (4.9), должно быть

Отсюда следует, что асимптотического разложения вида (1.1) нет. Мы видели, что в этом случае имеется даже сходящееся разложение, но вида (1.4), именно разложение (2.22), (2.24), (2.26). Но мы нашим способом установили тот факт в разложении (2.22), что при т. е.

при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление