Главная > Математика > Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Интегралы системы (1.1), не зависящие от t

Пусть система (1.1) имеет вид

где — линейно независимые функции.

Будем искать интегралы этой системы, не зависящие от

По определению имеем

откуда

Так как линейно независимы, то должно быть

Здесь надо иметь в виду, что (2.4) — тождество и относительно и относительно так как в — любая точка, например, начальная.

Таким образом, для определения имеем уравнения (2.5). Каждое совместное решение со уравнений (2.5) и будет искомым интегралом со.

Пример. Дана система

где — линейно независимые функции. Будем искать интегралы, не зависящие от

Согласно (2.5), надо найти совместное решение уравнений

Соответствующая система обыкновенных уравнений для (2.8) имеет вид

откуда имеем интегралы

или

Общее решение уравнения (2.8) получаем в виде

Подставляем (2.11) в (2.9):

Подставляем это со в (2.10), где

Получим

или

Для уравнения (2.12) имеем соответствующую систему

откуда имеем интегралы

или

Общее решение уравнения (2.12) получаем в виде

Подставляем это в (2.13), пользуясь

Получим

Следовательно,

или

Это и есть интеграл рассматриваемой системы, не зависящий от при произвольной Ф, равносильный, конечно, интегралу

или

Поверхность (2.16) не является замкнутой, конечной, но отсюда нельзя заключить, что решения уравнений (2.6) не ограничены. Пусть, например, Очевидно, эти функции линейно независимые, и мы имеем интеграл (2.16). Но

и

ограничены при всех

Замечание 2.1. Если невозможно найти для системы (2.1) интеграл (2.2), то иногда можно найти частную интегральную поверхность. Это означает следующее. Рассмотрим систему уравнений (2.5). Мы искали совместное решение этой системы. Такого решения может и не быть. Но может случиться так. Мы найдем для некоторой группы из уравнений (2.5) решение

Что же касается остальных уравнений (2.5), то для них эта функция не является решением, но удовлетворяет им на множестве

Это означает, что имеем

где

Это означает и то, что движение

определенное системой (2.1), не может сойти с поверхности (2.18), если оно имеет хоть одну общую точку с ней.

Действительно, рассмотрим систему уравнений (2.1) и уравнение

Мы, таким образом, имеем уравнение с неизвестными

Пусть в окрестности точки выполнены

условия теоремы существования и единственности для этой системы. Тогда ввиду (2.20) имеем решение

удовлетворяющее начальным условиям

Здесь в то же время функция есть функция (2.17) при определенных уравнениями (2.1) и (2.21). Эта функция удовлетворяет (по предположению) и (2.19), и (2.22).

Пример,

Будем искать интеграл вида (2.2)

Пусть

Тогда — решение уравнения (2.26). Возьмем теперь Тогда

в силу Следовательно, — частная интегральная поверхность для

Полагая здесь получаем откуда

Мы получили однопараметрическое семейство решений системы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление