Главная > Математика > Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Система ...

Решение системы (1.6) является функцией от и е. Но, очевидно, переменный параметр влияет на поведение решения отдельно, поэтому это решение является в сущности функцией от трех аргументов

К этому надо заметить следующее. Если система (1.6) получена из системы (1.25) заменой и мы получим (3.1), то для решения задачи (1.15) надо исследовать поведение при и постоянном

Сначала остановимся на задаче (1.8). Рассмотрим систему двух линейных уравнений

Будем искать решение в виде

Подставим это в (3.2), учитывая формулу

Сравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степенях справа и слева, получаем

В системе (3.4) параметр считается постоянным, поэтому найдутся как функции от при постоянном . Таким образом, система (3.4) линейная с постоянными коэффициентами. Пусть фундаментальная, нормированная в точке система решений уравнений (3.4), т. е.

Вообще говоря, общее решение уравнений (3.4) есть

где — произвольные функции от . Пусть — начальные значения решения (3.3). Из (3.7) имеем

Можно взять

Но в остальном функции — произвольные. При нахождении также будут появляться произвольные функции Это соответствует произволу выбора коэффициентов разложения (2.2). При выборе функций можно ставить разные задачи: выбрать их так, чтобы ряды (3.3) сходились, или так, чтобы ряды (3.3) были асимптотическим представлением х и у. Можно полагать, в частности, такими постоянными, чтобы при Приближенные значения х и у можно получить так. Полагаем

где определены согласно формулам (3.6), а — новые неизвестные функции, для которых найдем дифференциальные уравнения, подставляя (3.11) в (3.2). Из полученных уравнений надо оценить на промежутке Пусть Тогда приближенным значением х и у на промежутке будет

а ошибка не будет превосходить . Проделаем это при Подставим

в

Сокращаем здесь слева и справа члены в силу (3.4), затем делим левую и правую части на

В этих уравнениях и не является постоянным. Здесь надо оценить например, полагая

и записывая мажорантную систему в виде

или просто

Отсюда

Но в разных случаях по-разному можно давать и более точные оценки для Таким образом, приближенным значением х и у будет и ошибка не превосходит

Но как можно оценить и Продифференцируем (3.4) по обозначая Получим

Отсюда и надо найти оценки причем — решение уравнений (3.17) с начальными условиями если Для этого можно, например, получить оценки из (3.4), пользуясь мажорантной системой

для которой Отсюда легко найдем

Таким образом, Полагая и получаем оценки модулей свободных членов уравнений (3.17) в виде Теперь можно получить и оценки из (3.17) так же, как оценки для из (3.14) в виде (3.16), но здесь будет

Можно, конечно, получить и более точные оценки. Однородные уравнения системы (3.17) совпадают с (3.4).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление