Главная > Математика > Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Уравнение ...

Этому уравнению соответствует система

Решение этой системы будем искать в виде

Подставим это в (5.1):

Отсюда получим

Из (5.5) найдем

Отсюда легко получим которые стоят в (5.6). Уравнения (5.6) — неоднородные линейные уравнения, из которых найдем при условиях Из (5.7) найдем при условиях Решение (5.8) подчиним условию

В этом случае формальное решение (5.2) удовлетворяет начальным условиям

Приближенное решение можно получить так же, как показано ранее. Например, пусть

где даны равенствами (5.8), пока неопределенные. Подставим (5.10) в (5.1):

Сократим подчеркнутые члены и разделим на

или

Запишем это в виде

где значения очевидны.

Рассмотрим соответствующую однородную систему

Пусть два линейно независимых решения этих уравнений и При этом будет

Тогда общее решение этих уравнений есть

Оценки легко получить.

В таком виде мы и будем искать решение уравнений (5.13), считая функциями от Подставим (5.15) в (5.13):

Подчеркнутые члены сокращаются, и найдем в

откуда

Подставляя (5.16) в (5.15), получаем интегральные уравнения для так как эти неизвестные входят под знак интегралов в (5.16):

Можно получить оценки

Пусть Тогда из (5.17) найдем

Отсюда имеем мажорантную систему

или

Здесь поэтому

Отсюда, как и из (4.44), найдем поэтому, согласно (5.10), имеем

Метод, который мы применяли, вообще можно использовать в случае, когда система имеет вид (4.1), где Р и Q — полиномы от х и у, а также для более общих систем уравнений с неизвестными. Подробное рассмотрение этих задач читатель

найдет в монографии Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [13]. Мы здесь изложили метод, основанный на общих идеях Н. Н. Боголюбова и приведенный впервые в [40].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление