Главная > Математика > Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Поведение решений при t->оо

Пусть дана система

решения которой непрерывно продолжимы на область Тогда можно ставить задачу построения или доказательства существования решений, обладающих свойством

где — наперед заданное или фиксированное для заданного уравнения,

или

где — некоторая функция, иногда решение некоторого упрощенного по сравнению с уравнения.

Эти начальные значения отличны от начальных условий Коши в теореме Пикара, например, в первом случае потому, что во втором и третьем случаях еще ипотому, что остается неопределенным — только ограничено. Таким образом, эта задача требует особого исследования. Это важно и потому, что в естествознании часто нас интересует развитие явления на протяжении большого отрезка времени или даже неограниченно большого.

Частично эти задачи мы уже исследовали в предыдущих главах. Здесь мы кратко остановимся на очень важных исследованиях Пейовича 1 [I] в этом направлении. Когда речь идет о поведении решений при то говорят, что рассматривается

асимптотическое поведение решения, или асимптотика решений.

Сначала Пейович находит разные условия, при выполнении которых решения уравнения

обладают свойством I, II или III (это можно видеть и из § 1 главы I). Затем Пейович рассматривает уравнение

где как и в (2.1), — непрерывные функции при а определена, непрерывна и ограничена в области

и удовлетворяет условию

с непрерывной функцией

Следовательно, согласно замечанию в § 5 главы III, непрерывные решения уравнения (2.2) существуют в области Пейович сравнивает асимптотическое поведение решений уравнений (2.1) и (2.2).

Предположим

такой, что решение уравнения (2.1) можно записать в виде

с постоянной так что Обозначим еще

Очевидно,

при достаточно большом

Теорема Пейовича. Если выполнены условия (2.3) и (2.4), то решение уравнения (2.2), определенное равенством

при достаточно большом (чтобы, было (2.6)) обладает свойством

Это решение Пейович получает методом последовательных приближений, принимая за нулевое приближение и определяя остальные приближения из равенств

так что

и этот ряд равномерно сходится в области Этот вопрос рассматривается и при других предположениях относительно Далее Пейович сравнивает также асимптотическое поведение решений системы

с асимптотическим поведением решений уравнений

Мы отсылаем читателей к классическому мемуару Пейовича [I].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление