Главная > Математика > Операционное исчисление (обобщения и приложения)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Представление решения систем с запаздыванием в виде определенного интеграла

Рассмотрим теперь вопрос о представлении решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом в виде определенного интеграла. Вполне очевидно, что если речь идет о представлении в виде определенного интеграла, то, используя решения (V.48), необходимо применить теорему о свертке. Однако при этом следует знать, преобразованием какой функции является каждое из выражений в формуле (V.48). Для этого найдем сначала функцию, преобразованием которой является Существование такой функции устанавливается следующим определением.

Определение. Пусть — единственная функция, обладающая свойствами

Применяя метод последовательного интегрирования для класса кусочно-непрерывных функций, легко доказать существование и единственность функции и показать, что она удовлетворяет оценке (V.31). Поэтому к системе (V.49) можно применить преобразование Лапласа и получить

откуда для всех

Применяя теорему обращения, получаем

Таким образом, является преобразованием функции Используя единичную функцию

легко видеть, что

т. е. является преобразованием Лапласа функции Применяя теорему о свертке, устанавливаем, что функция

имеет преобразование

Из соотношения (V.50) получаем

т. e. - преобразование функции — Таким образом, выражение является преобразованием функции Записывая

с учетом, что имеет преобразование при помощи теоремы о свертке устанавливаем, что выражение

является преобразованием функции

Объединяя формулы (V.51) — (V.53), получаем выражение

которое и является представлением решения системы (V.24) в виде определенного интеграла.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление