Главная > Моделирование, обработка сигналов > Введение в теорию случайных сигналов и шумов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.4. Гауссовский вероятностный процесс

Вероятностный процесс называется гауссовским, если для любого конечного множества моментов времени случайные величины имеет гауссовскую плотность совместного распределения

вероятностей. Если рассматриваемый процесс является действительным, то в соответствии с равенством (8.46) плотность совместного распределения вероятностей N случайных величин равна

где

а матрица ковариаций, состоящая из элементов

Если рассматриваемый процесс является стационарным в широком смысле, то При этом ковариации и плотности совместного распределения становятся функциями только разности моментов времени а не самих Следовательно, стационарный в широком смысле гауссовский вероятностный процесс стационарен также и в узком смысле,

Если данный процесс является комплексным, комплексных случайных величин

где действительные величины должны иметь -мерную гауссовскую совместную плотность распределения вероятностей.

Линейные преобразования.

Пусть вероятностный процесс с выборочными функциями является действительным гауссовским вероятностным процессом, и пусть интеграл

где — непрерывная действительная функция от t, существует в смысле, указанном в § 4.7. Покажем, что случайная величина у является действительной гауссовской случайной величиной.

Разобьем интервал интегрирования на N подинтервалов где и рассмотрим сумму

где Математическое ожидание этой суммы равно

Если существует математическое ожидание величины у, т. е. если

и если среднее значение вероятностного процесса является непрерывной функцией от t, то

где все при стремятся к нулю. Среднее значение квадрата аппроксимирующей суммы равно

Если существует среднее значение квадрата величины у, т. е. если

и если корреляционная функция является непрерывной функцией от t и то

Таким образом, из (8.64) и (8.66) следует, что

Мы можем теперь показать, что сходится в среднем к у. Рассмотрим выражение

Мы можем представить в виде

В силу непрерывности по непрерывным по является

и выражение в квадратных скобках. Следовательно, согласно (8.65),

Подставляя (8.66) и (8.69) в (8.68), находим, что

Итак, сумма (8.62) в среднем, а значит и по вероятности, сходится к у. Из результатов § 4.6, далее, следует, что функции распределения вероятностей суммы (8.62) сходятся к функции распределения величины у. Остается найти вид функции распределения величины у.

Равенство (8.62) определяет как линейную комбинацию совокупности гауссовских случайных величин. Следовательно, аппроксимирующая сумма у также является гауссовской случайной величиной, характеристическая функция которой в соответствии с (8.10) равна

Из (8.64) и (8.67) следует, что предельная форма этой характеристической функции также является гауссовской:

Так как мы показали, что функции распределения аппроксимирующих сумм сходятся к функции распределения величины у, и так как предельная характеристическая функция для величин непрерывна по при то отсюда следует, что

и, значит, в соответствии с (8.71) у является действительной гауссовской случайной величиной.

Если вероятностный процесс с выборочными функциями является комплексным гауссовским вероятностным процессом, то для доказательства того, что определяемая выражением (8.61) случайная величина у будет комплексной гауссовской случайной величиной, необходимо применить приведенные выше соображения по отдельности к действительной и мнимой частям

При выполнении подходящих условий интегрируемости можно также показать, что если вероятностный процесс с выборочными

функциями является гауссовским и если интеграл

где — непрерывная функция от t и существует, то вероятностный процесс, имеющий выборочные функции также является гауссовским.

Ортогональные разложения.

Пусть — выборочная функция стационарного гауссовского вероятностного процесса. Тогда, в соответствии с результатами § 6.4 и предыдущего раздела, мы можем разложить этот процесс в интервале в ряд Фурье

где коэффициенты

— комплексные гауссовские случайные величины. Поскольку в пределе при эти коэффициенты становятся некоррелированными, они становятся также независимыми случайными величинами.

Из результатов § 6.4 следует также, что гауссовский вероятностный процесс с выборочными функциями независимо от того, стационарен он или нет, может быть представлен в интервале обобщенным рядом Фурье

где — соответственно собственные значения и собственные функции интегрального уравнения

а коэффициенты

являются некоррелированными (и, следовательно, независимыми) гауссовскими случайными величинами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление