Глава 13. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ; МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Применение прямого метода анализа нелинейных систем к устройствам, отличным от рассмотренных в предыдущей главе, часто наталкивается на аналитические трудности, связанные с вычислением различных интегралов. Во многих интересных случаях эти трудности могут быть обойдены с помощью метода преобразований, который мы рассмотрим в настоящей главе. Сначала мы рассмотрим преобразование Фурье (или Лапласа) от характеристики нелинейного устройства, далее мы применим его к вычислению корреляционной функции на выходе устройства и в заключение изучим частный случай детектора степени. Как и в гл. 12, мы ограничимся лишь такими нелинейными устройствами, отклик которых в момент t может быть представлен в виде однозначной функции воздействия в тот же момент

13.1 Переходная функция

Пусть — характеристика рассматриваемого нелинейного устройства. Если функция и ее производная кусочно-непрерывны и абсолютно интегрируема, т. е.

то существует преобразование Фурье от характеристики устройства

и отклик нелинейного устройства может быть выражен через воздействие с помощью обратного преобразования Фурье:

Мы назовем функцию переходной функцией нелинейного устройства. Представление нелинейного устройства с помощью его переходной функции введено Беннетом и Райсом и было, по-видимому, впервые применено к изучению шумов в нелинейных устройствах почти одновременно и независимо друг от друга Беннетом, Райсом) и Миддльтоном.

Во многих интересных случаях (например, в случае однополупериодного линейного устройства) характеристика не является абсолютно интегрируемой функцией, ее преобразование Фурье не существует и равенство (13.3) применено быть не может. Однако определение переходной функции нередко может быть распространено и на такие случаи, причем могут быть получены и результаты, аналогичные (13.3). Предположим, например, что функция равна нулю при что она и ее производная кусочнонепрерывны и что на бесконечности имеет экспоненциальный порядок роста, т. е.

где — постоянные. Тогда функция

где абсолютно интегрируема, так как

и ее преобразование Фурье должно существовать. Поэтому мы можем написать, согласно (13.3), что

и, следовательно,

Если мы теперь введем комплексную переменную то интеграл по действительной переменной можно заменить контурным

интегралом вдоль линии в плоскости и написать

где

Переходная функция нелинейного устройства может быть в этом случае определена как одностороннее преобразование Лапласа (13.6) от характеристики, и отклик устройства может быть получен из обратного преобразования Лапласа (13.5).

Во многих задачах характеристика на полупрямой в нуль не обращается и введенные выше преобразования применять нельзя. Часто, однако, случается все же, что характеристика удовлетворяет обычным условиям непрерывности и как при положительных, так и при отрицательных значениях х имеет экспоненциальный рост, т. е.

где и постоянные. В этом случаемы можем определить однополупериодные характеристики

и

Тогда

Функции уже удовлетворяют предыдущим условиям и, следовательно, обладают односторонними преобразованиями Лапласа соответственно , где

интеграл сходится при и

(интеграл сходится при Переходную функцию заданного устройства можно тогда представлять себе как пару функций Так как может быть получена из с помощью контурного интеграла типа (13.5), а — аналогичным образом из то, согласно (13.7 в), полная характеристика определяется равенством

где за контур можно взять линию а за контур — линию

Если то обладают перекрывающимися областями сходимости в плоскости до и соответственно мы можем определить переходную функцию устройства как двустороннее преобразование Лапласа

которое сходится при . В этом случае оба контура интегрирования могут быть взяты в перекрывающихся частях областей и, следовательно, здесь может быть выбран общий контур.