Главная > Моделирование, обработка сигналов > Введение в теорию случайных сигналов и шумов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13.4. Спектральная плотность отклика

Спектральную плотность отклика нелинейного устройства можно найти, как обычно, взяв преобразование Фурье от корреляционной функции отклика. Рассмотрим сначала случай, когда на вход нелинейного устройства подаются немодулированный синусоидальный сигнал и гауссовский шум. При этом корреляционная функция

на выходе определяется равенством (13.53). Следовательно,

где мы определили как преобразование Фурье от

Первое слагаемое (13.67) представляет собой импульс, расположенный на нулевой частоте и соответствующий среднему значению отклика. Совокупность импульсов, расположенных на частотах соответствует периодическим компонентам отклика, а остающиеся слагаемые — выходному шуму. Как и прежде, шумовые слагаемые могут быть разделены на две группы: слагаемые, отражающие взаимодействие шума с самим собой,

и слагаемые, отражающие взаимодействие входного сигнала и шума,

Последние два выражения являются, конечно, просто преобразованиями Фурье от соответствующих корреляционных функций (13.59) и (13.60).

Найдем теперь соотношение между . При согласно (13.68),

Далее, при можно представить в виде произведения; это дает

Следовательно, можно записать в виде свертки

Повторным применением этой рекуррентной формулы получаем

Итак, спектральная плотность может быть представлена в виде -кратной свертки спектральной плотности входного шума с самим собой.

Теперь обратимся к случаю, когда входной синусоидальный сигнал модулирован по амплитуде, причем как процесс, модулирующий сигнал, так и шум стационарны. Корреляционная функция отклика, получаемая из выражения (13.61) подстановкой в него имеет в этом случае вид

где, согласно (13.62), (13.63) и (13.64),

и

Спектральная плотность отклика равна тогда

где спектральные плотности, входящие как слагаемые в это выражение, являются преобразованиями Фурье от соответствующих корреляционных функций, входящих в

Если мы теперь определим как преобразование Фурье от корреляционной функции коэффициента

то различные компоненты спектральной плотности отклика можно будет представить в следующем виде:

и

По существу эти спектральные плотности являются свертками спектральными плотностями, найденными ранее в случае немодулированного синусоидального входного сигнала.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление