Главная > Теория автоматического управления > Теория линейных следящих систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8.3. Постановка задачи

Основная задача заключается в нахождении весовой функции системы, удовлетворяющей определенному качеству и минимальной полосе пропускания системы согласно определению ширины полосы из опыта. Опыт строится так, чтобы имело место единственное

соотношение между шириной полосы системы регулирования и среднеквадратичным значением сигнала на выходе фильтра (рис. 8.2-1). Это соотношение таково, что расширению полосы стандартной системы всегда соответствует увеличение среднеквадратичного значения сигнала на выходе фильтра. Поэтому основная задача минимизации полосы эквивалентна определению весовой функции системы регулирования из условия минимума среднего квадрата выходного сигнала фильтра этой системы при учете ограничений на качество системы. Задача в такой формулировке тождественна в общем случае основной задаче, рассмотренной в главе седьмой; при этом ограничения накладываются теперь на качество системы, а не на средний квадрат сигнала, подверженного насыщению. Таким образом, результаты, полученные в главе седьмой, можно использовать для решения задачи о минимизации полосы.

Если не накладывать на структуру рассматриваемой системы никаких ограничений, то на основании условий задачи это дает возможность с достаточной полнотой определить систему, весьма близкую к оптимальной. Условия задачи делятся на две группы. Первая группа включает требования к качеству системы, которые можно определить в терминах интегральной квадратичной ошибки для регулярных сигналов или в терминах среднего квадрата ошибки для случайных сигналов. Вторая группа условий содержит требования, необходимые для описания эксперимента по определению ширины полосы. Сюда относятся требования к передаточной функции фильтра к источнику шума и к стандартной системе. Для определения показателей качества мы отсылаем читателя к главам второй и четвертой, где в деталях дается их обоснование и использование.

Возникает следующий вопрос: если определить ширину полосы системы, как это было сделано в § 8.2, то как надо выбрать источник шума, стандартную систему и фильтр, чтобы завершить определение условий задачи? Во-первых, напомним, что полоса, определенная из опыта, дает нам калибровку ширины полосы пропускания нашей системы регулирования. Эта калибровка зависит от выбора источника шума, стандартной системы и фильтра. Во-вторых, все эти элементы должны быть выбраны так, чтобы средний квадрат сигнала на выходе фильтра стандартной системы монотонно возрастал с расширением полосы пропускания.

На выбор источника шума не накладываются ограничения. Его можно выбрать, исходя из реального шума, воздействующего на систему. Во многих случаях подходящим является генератор белого шума, так как белый шум содержит составляющие всех частот. Удобно также для аналитических расчетов иметь возможно более простую корреляционную функцию и функцию спектральной плотности.

После того как выбран источник шума, можно выбирать фильтр, принимая во внимание желаемую частоту среза в системе регулирования. Форма характеристики фильтра должна обеспечивать регулирование скорости спада частотной характеристики в окрестности частоты среза; при этом должны выполняться требования, наложенные на систему. Критерием является конечное значение среднего квадрата сигнала на выходе фильтра, поскольку именно этот сигнал должен быть минимизирован.

Рис. 8.3-1. Характеристики биномиальною фильтра. Порядок фильтра отмечен на кривых.

Так, если используется источник белого шума, то для обеспечения конечного значения среднего квадрата на выходе фильтра частотная характеристика комбинации система регулирования — фильтр должна убывать по крайней мере так же, как функция Тогда, выбирая в качестве фильтра идеальный дифференциатор порядка мы должны потребовать, чтобы скорость убывания частотной характеристики системы была по крайней мере не ниже Основным преимуществом при выборе дифференциатора в качестве фильтра является его простота. Выбор фильтра, таким образом, определяет дополнительное требование к системе регулирования, а именно максимально допустимую скорость спада частотной характеристики при больших частотах.

После определения источника шума и фильтра стандартная система также выбирается из условия конечности среднего квадрата сигнала на выходе фильтра. Во всех других отношениях выбор стандартной

системы произволен, поскольку она должна лишь обеспечить калибровку системы регулирования; при этом калиброванным параметром служит ширина полосы. Форма частотной характеристики стандартной системы обычно выбирается из условия простоты вычисления и наглядности. В качестве стандартной системы можно выбрать простой биномиальный фильтр с характеристикой

где — порядок системы и — параметр, определяющий ширину полосы.

Рис. 8.3-2. Характеристики фильтра Боттерворса. Порядок фильтра отмечен на кривых.

Такой фильтр весьма удобен для вычислений в частотной области и имеет легко обозримые частотные характеристики. На рис. 8.3-1 показаны амплитудные и фазовые характеристики такого фильтра.

Другим примером стандартной системы может служить фильтр Боттерворса порядка. Его характеристика имеет вид

где для первых четырех значений определяется следующим образом:

Амплитудная и фазовая характеристики этого фильтра (рис. 8.3-2) более компактно расположены относительно критической частоты по сравнению с характеристиками биномиального фильтра.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление