Макеты страниц 3. Диаграммы БодеЧастотная характеристика системы является наиболее удобным средством для расчета. Как естественное распространение критерия Найквиста (приложение И), который применяется для определения устойчивости системы, частотная характеристика широко используется, когда определяется степень устойчивости. Хотя исследование частотной характеристики системы в комплексной плоскости наиболее естественно, диаграммы Боде и плоскость с координатами усиление — фаза (см. приложение IV) более удобны для применения. При более детальном ознакомлении с методом Боде следует обратиться к литературе [5], [7], [8], [11], ]43]. Диаграмма Боде состоит из двух кривых: одна для амплитуды, другая для фазы. Амплитудная кривая дает зависимость амплитуды, выраженной в децилогах в функции логарифма частоты. Фазовая кривая выражает зависимость фазового угла в градусах от логарифма частоты. Логарифмический масштаб в диаграммах Боде позволяет выразить логарифмическую амплитудную характеристику для случая дробно-рациональной функции частоты как линейную комбинацию отдельных множителей. Кроме того, логарифмический масштаб частоты помогает определить асимптотические амплитудные характеристики. Так как рациональная функция разлагается на множители — полиномы первого и второго порядка, — то целая функция может быть построена из совокупности стандартных кривых, определяющих амплитуду и фазу этих простых множителей. Имеется три основных типа таких множителей, каждый из которых характеризуется рациональной функцией частоты. Именно:
Функция первого типа представляет дифференцирование или интегрирование. Соответствующая ей логарифмическая амплитудная характеристика является прямой линией с наклоном
Рис. 111.3-1. Логарифмическая амплитудная характеристика апериодического звена Фазовый угол остается постоянным и равен
Сопрягающая частота для функции второго порядка совпадает с собственной частотой Фазовые характеристики для функций первого и второго порядков если числитель и знаменатель частотной характеристики разложены на множители. Если же используются диаграммы Боде, то амплитудную характеристику, соответствующую дробно-рациональной функции частоты, можно аппроксимировать просто асимптотическими логарифмическими характеристиками.
Рис. III.3-2. Логарифмические характеристики звена второго порядка Таким образом, можно провести грубое предварительное исследование данной системы при условии, что ее частотная характеристика минимально-фазовая. Такое исследование становится ясным, если рассмотреть следующие приближенные соотношения. Обращаясь к рис. 1.7-1, мы видим, что если
Рис. III.3-3. Фазовая характеристика апериодического звена (кликните для просмотра скана) называется частотой среза. Из формул (III.3-4)-(III.3-7) следует, что асимптотой функции Таким образом, используя асимптотическое приближение, инженер может быстро определить частотную характеристику Для определения по диаграммам Боде коэффициента усиления, соответствующего заданной степени устойчивости, используются понятия запаса по фазе и усилению. Так как, согласно критерию Найквиста, оценка устойчивости связана с охватом точки —
где
где Если определить степень устойчивости системы, задавая запас по фазе, то выбор коэффициента усиления К разомкнутой системы с функцией 1. На диаграмму Боде наносится функция 2. По фазовой характеристике определяется частота, при которой
Эта частота будет равна частоте среза 3. По амплитудной характеристике определяется модуль функции 4. Коэффициент усиления
Рассмотренная последовательность определения коэффициента усиления, обеспечивающего заданный запас по фазе, часто используется для приближенного определения коэффициента усиления в плоскости усиление — фаза для заданной величины 45°. Необходимо соблюдать некоторую осторожность при использовании критерия запаса по фазе, если имеется несколько частот, удовлетворяющих этому критерию. В этом случае следует пользоваться критерием Найквиста. При помощи диаграммы Боде можно также исследовать последовательную коррекцию, для которой степень устойчивости оценивается запасом по фазе. Однако цель коррекции и методы выбора параметров передаточной функции последовательного корректирующего звена тождественны методам, рассмотренным в приложении IV. Поэтому мы не будем излагать их здесь. Рассмотрим пример использования диаграммы Боде для простой системы с обратной связью. Передаточную функцию корректирующего звена положим равной коэффициенту усиления
Частотную характеристику заданных элементов определим формулой
Так как передаточная функция разомкнутой системы Диаграмма Боде функции
или
Амплитуда, соответствующая этой частоте, равна Рис. III.3-5. Диаграмма Боде: а) амплитудная характеристика; б) фазовая характеристика. (см. скан) Таким образом, согласно
|
Оглавление
|