Главная > Теория автоматического управления > Теория автоматического управления, Ч.II (Воронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Синтез стохастической оптимальной линейной системы при полной информации о состоянии

Рассмотрим стохастическую задачу оптимального управления при линейном объекте, квадратичном критерии и полной информации о состоянии системы:

Здесь — белый шум с характеристиками

— случайная величина с характеристиками

F, Q — неотрицательно-определенные симметричные матрицы; R - положительно-определенная симметричная матрица.

Задача заключается в определении оптимального закона управления. Критерий оптимальности (10.176) имеет такой же смысл, что и критерий оптимальности (10.121) в детерминированной задаче оптимального управления. Здесь только производится усреднение по всем случайным факторам.

Решение этой задачи совпадает с решением (10.138), (10.123), (10.125) детерминированной задачи (10.120), (10.121) при

Оптимальное управление

где симметричная матрица К определяется из матричного уравнения Риккати

при граничном условии

Таким образом, случайное воздействие и случайное начальное условие на оптимальный закон управления не влияют. Они сказываются только на значении критерия оптимальности: оно, естественно, увеличивается. При оптимальном управлении критерий оптимальности (10.176) принимает следующее значение:

Для получения решения (10.179)-(10.181) воспользуемся методом динамического программирования. Уравнения (10.171) в данном случае принимают вид

Из второго уравнения полученной системы

Подставив это выражение в первое уравнение, получим

Будем искать решение этого уравнения в виде квадратичной формы:

где симметричная матрица, — скалярная функция. Подставив ее, получим

откуда

Граничное условие (10.170) принимает вид

поэтому

Подставив выражение для S в (10.183), получим оптимальный закон управления (10.179). Осталось получить (10.182). Из определения функции Беллмана следует, что

Вычислим математическое ожидание от квадратичной формы:

Как легко проверить непосредственным вычислением, если а и b являются произвольными векторами (столбцами) одного и того же размера, то

Используя это соотношение, окончательно получаем

Для второго слагаемого правой части (10.186) из уравнения (10.184) с учетом граничного условия (10.185) имеем

поэтому действительно из (10.186) получаем (10.182).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление