Главная > Теория автоматического управления > Теория автоматического управления, Ч.II (Воронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Синтез оптимальной линейной системы при квадратном критерии

Пусть объект описывается линейным уравнением

и задан квадратичный критерий оптимальности

где — известная векторная функция; — симметричные неотрицательно-определенные матрицы симметричная, положительно-определенная матрица

Требуется найти оптимальное управление с обратной связью, т. е. управление, при котором критерий (10.259) принимает минимальное значение при произвольном начальном условии . Критерий (10.259) имеет такой же физический смысл, что и критерий (10.121) в непрерывном случае.

Оптимальное управление с обратной связью имеет следующий вид:

Здесь

где симметричная неотрицательно-определенная матрица, определяемая из уравнения

при граничном условии

— вектор-столбец размера , определяемый из уравнения

при граничном условии

Когда объект задается уравнением

т. е. , то оптимальное управление с обратной связью принимает вид

где определяется из (10.261), а неотрицательно-определенная матрица из (10.262), (10.263). Действительно, при уравнение (10.264) становится однородным и в силу граничного условия (10.265) его решением является

Для доказательства полученного решения (10.260)-(10.265) воспользуемся методом динамического программирования. Введем функцию Беллмана:

Уравнение Беллмана имеет вид

Используя уравнение объекта (10.258) и опуская для краткости записи аргумент получим

Решение этого уравнения будем искать в виде

где симмегричная матрица; — вектор-столбец размера — скалярная функция.

В силу граничного условия (10.267) имеем:

Таким образом, получили граничные условия (10.263) и. (10.265).

Подставим (10.269) в (10.268). Тогда получим

Правая часть полученного соотношения как функция от управления является матричным квадратным трехчленом, причем квадратный член имеет вид и и является положительно-определенной квадратичной формой, так как, по условию, и, как будет показано дальше, Поэтому указанный трехчлен имеет минимум, который достигается в стационарной точке, и последнее уравнение можно представить в виде следующей эквивалентной системы уравнений:

Из последнего уравнения имеем

откуда, произведя транспонирование, получим соотношение для оптимального управления (10.260). Подставив выражение для управления и используя обозначение (10.261), уравнение (10.271) можно преобразовать к виду

Из последнего уравнения, приравняв отдельно матрицы при квадратичных и линейных относительно х членах, получим соотношения (10.262) и (10.264). Приравняв свободные члены, получим уравнения

Теперь докажем, что матрица К является неотрицательноопределенной. Как отмечалось, функция при Уравнение (10.272) при становится линейным однородным и имеет единственное решение удовлетворяющее граничному условию (10.270), поэтому при функция (10.269) принимает вид

В этом случае из соотношения (10.267) следует неотрицательная определенность квадратичной формы и соответственно матрицы при любом Но так как уравнение (10.262), из которого находится матрица не зависит от то сказанное остается справедливым и при произвольной функции

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление