Главная > Теория автоматического управления > Теория автоматического управления, Ч.II (Воронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Оптимальный фильтр Винера.

В тех случаях, когда на входе системы автоматического управления (см. рис. 9.16) действуют полезный сигнал и помеха которые являются коррелированными между собой стационарными случайными процессами с равными нулю средними значениями, оптимальная импульсная переходная функция системы удовлетворяющая условию физической реализуемости при и обеспечивающая минимум средней квадратической ошибки, должна удовлетворять следующему интегральному уравнению:

где корреляционная функция суммарного входного сигнала — взаимная корреляционная функция воспроизводимого выходного сигнала и суммарного входного сигнала

Уравнение (9.124) было получено Н. Винером в 1949 г. и называется интегральным уравнением Винера — Хопфа.

На основе решения уравнения (9.124) Н. Винером была предложена общая формула для нахождения реализуемой оптимальной частотной передаточной функции (оптимального фильтра Винера)

где — взаимная спектральная плотность воспроизводимого выходного сигнала и суммарного входного сигнала причем

Следует обратить внимание, на то, что в (9.125) нижний предел внешнего интеграла должен быть равен нулю.

Если корреляция между управляющим сигналом и помехой отсутствует, то при применении (9.125) следует учесть, что

На основе общей формулы (9.125) как частные случаи могут быть получены выражения для оптимальных частотных передаточных функций систем (оптимальных фильтров), осуществляющих при наличии помех воспроизведение полезного сигнала, статистическое упреждение (предсказание), дифференцирование и другие линейные преобразования управляющего сигнала в соответствии с (9.107).

Например, если рассматривают задачу воспроизведения полезного сигнала при наличии помех, то преобразующий оператор тогда

В этом случае (9.125) может быть представлено в более простом виде:

Чтобы найти числитель выражения (9.128), разложим на простые дроби:

где — полюсы расположенные в верхней полуплоскости; — полюсы расположенные в нижней полуплоскости; — нули .

Затем, отбрасывая слагаемые, имеющие полюсы в нижней полуплоскости, получим

где коэффициенты определяют по формуле

Формулы (9.129) и (9.131) относятся к тому случаю, когда отношение не имеет кратных полюсов.

Если это отношение имеет кратные полюсы, то методика определения остается прежней, но формулы разложения на простые дроби будут другими.

Частным, но весьма важным и распространенным на практике является случай, когда помеха является белым шумом со спектральной плотностью а спектральная плотность управляющего сигнала описывается дробно-рациональной функцией

где порядок превышает порядой

Полезно запомнить, что в этом случае оптимальная частотная передаточная функция может быть определена следующим образом:

Пример 9.7. Условия задали такие же, как в примере 9.6. Определить оптимальную частотную передаточную функцию системы.

Так как спектральная плотность помехи

а спектральная плотность полезного сигнала

то оптимальная частотная передаточная функция может быть определена по

Подставляя в выражение для значение

найденное в примере 9.6, получаем

Так как (см. пример 9.6)

то второе мнимое слагаемое равно нулю и поэтому оптимальная частотная передаточная функция системы

Найденное выражение для как и следовало ожидать, полностью совпадает с результатом, полученным в примере 9.6.

Основополагающие результаты Н. Винера были получены для случая, когда ко входу линейной системы приложены стационарные случайные воздействия с равными нулю средними значениями (центрированные случайные процессы).

В результате дальнейшего развития и обобщения методов синтеза динамических систем при случайных воздействиях были разработаны, например, методы синтеза при случайных воздействиях, приложенных в разных точках системы; методы синтеза при одновременном воздействии на систему регулярных и случайных сигналов; методы синтеза систем с ограниченной длительностью переходного процесса (с «конечной памятью»); методы синтеза систем, содержащих случайные параметры; методы синтеза систем при нестационарных случайных

воздействиях; методы синтеза нелинейных систем, в том числе с применением цифровых вычислительных машин, и т. д.

В последнее время при расчете систем, находящихся под воздействием случайных (в том числе и нестационарных) процессов, широкое применение нашла теория оптимальных фильтров, разработанная Р. Калманом и Р. Бьюси,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление