Главная > Теория автоматического управления > Теория автоматического управления, Ч.II (Воронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7.3. Автоколебания. Метод точечных преобразований

Начнем с примера. В системах с положительными обратными связями при определенных условиях могут возникать силы, приводящие к пополнению рассеиваемой на трении энергии. В таких системах могут возникать незатухающие колебания.

На рис. 7.18 изображена схема лампового генератора. Учитывая связь анодного тока с токами проходящими соответственно через индуктивность и конденсатор колебательного контура RLC, составим для этого контура уравнение.

Считаем характеристику лампы идеальной (рис. 7.19), т. е.

Сеточное напряжение равно напряжению вторичной обмотки трансформатора поэтому, обозначая получим

Фазовые траектории в верхней и нижней полуплоскостях в соответствии с (7.14) представляют собой спирали, скручивающиеся к точке на оси х в верхней и к началу координат в нижней полуплоскости.

Рис. 7.18

Рис. 7.19

Рис. 7.20

Рассмотрим движение, начинающееся в точке на оси х (рис. 7.20, а). Решение уравнения для фазовой траектории, выходящей из этой точки и проходящей в нижней полуплоскости, дается в (7.15). Для продолжения этой траектории в верхней полуплоскости начальными значениями будут конечные значения х и у в момент времени При имеем

Уравнение движения по верхней траектории

Произвольные постоянные при поставленных начальных условиях поэтому

где — точка пересечения траектории с осью х влево от начала координат. По истечении времени траектория снова пересечет ось абсцисс справа (точка ).

Значение с равно

Обозначив получим уравнения, связывающие и :

Эти уравнения определяют процесс преобразования точки а на положительной полуоси х в точку с на этой же полуоси. Если траектории будут скручиваться и генератор будет совершать затухающие колебания. Если траектории раскручиваются и колебания нарастают. Если колебания становятся незатухающими и траектория превращается в замкнутый цикл (рис. 7.20, б). Уравнения (7.17), называемые уравнениями точечного преобразования, позволяют найти параметры цикла. Положив решим уравнения (7.17) относительно :

Если решение единственно и, следовательно, любая другая точка в окрестности а уже не принадлежит замкнутому циклу. Таким образом, найденный замкнутый цикл является изолированным. Изолированную замкнутую траекторию называют предельным циклом. Предельный цикл окружен навивающимися на него или скручивающимися с него траекториями. Если в результате малого смещения с цикла в любом направлении мы попадаем на траекторию, неограниченно приближающуюся к циклу, то цикл устойчив. Устойчивый предельный цикл соответствует устойчивым колебаниям, называемым самовозбуждающимися или автоколебаниями. Отклонение параметров автоколебаний (амплитуды, частоты и т. малой помехой в процессе дальнейшего движения уменьшается — этим автоколебания принципиально отличаются от незатухающих колебаний в линейных системах. Линейные генераторы не применяются, так как они не обеспечивают устойчивого колебательного движения.

Пусть между сна существует зависимость

где — функция последования.

Если в результате возмущения точка сместится с цикла, то по истечении периода получим приращения связанные зависимостью

Если то начальное отклонение уменьшается и предельный цикл устойчив, в противном случае — неустойчив. В рассмотренном примере

поэтому предельный цикл устойчив.

Рис. 7.21

фазовый портрет системы представлен на рис. 7.20, б. В начале координат имеем неустойчивый фокус. Где бы внутри предельного цикла ни находилась изображающая точка, с течением времени она будет приближаться к циклу. В такой системе автоколебания возникают «сами собой», от сколь угодно малого возмущения. Возбуждение колебаний такого рода называют мягким. На рис. 7.21 представлен фазовый портрет с двумя предельными циклами: внутренним неустойчивым и внешним устойчивым. Начало координат — устойчивый фокус. Движение, возникнув внутри внутреннего цикла, с течением времени прекратится и автоколебания не возникнут. Чтобы их возбудить, необходим достаточно сильный толчок, выводящий начальную точку за предельный неустойчивый цикл. Это система с жестким возбуждением автоколебаний. Примерами таких систем являются стенные гиревые часы с маятником или плохо налаженный микрофон в аудитории, когда резкое усиление голоса оратора приводит к микрофонному эффекту. Неустойчивый предельный цикл соответствует наличию формального периодического решения уравнений, но не физически существующим автоколебаниям. Он ограничивает в фазовой плоскости область допустимых начальных возмущений, при которых состояние равновесия еще остается устойчивым.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление