Главная > Теория автоматического управления > Теория автоматического управления, Ч.II (Воронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Наблюдатели пониженного порядка.

Рассмотрим стационарную систему

где х - -вектор; у — -вектор, причем ; А, В, С — постоянные матрицы соответствующей размерности. Пусть ранг матрицы С максимальный, т. е. равен Тогда уравнение наблюдения дает независимых линейных уравнений для неизвестного состояния Чтобы определить необходимо получить дополнительно соотношений для координат этого вектора.

Введем такой -вектор определяемый соотношением

что матрица

является неособой. Из уравнения

следует

Используя представление

где -матрицы соответственно, получаем

Если получить оценку для введенного вектора, то для оценки фазового вектора имеем

Таким образом, задача восстановления фазового вектора свелась к задаче восстановления вектора меньшей размерности. Для построения наблюдателя для переменной найдем для этой переменной дифференциальное уравнение. Дифференцируя (10.112) и используя (10.111), получим

или с учетом (10.113)

Чтобы воспользоваться структурой наблюдателя (10.110) для системы (10.111), необходимо уравнение (10.116) дополнить соотношением, которое служило бы для него уравнением наблюдения. Таким уравнением не может быть исходное уравнение наблюдения

так как и переменная у не зависит от Действительно, из (10.113) имеем

откуда . Примем в качестве уравнения наблюдения уравнение, которое получается дифференцированием выражения :

Тогда наблюдатель для описывается уравнением

В это уравнение входит производная у. Чтобы избавиться от нее, введем дополнительную переменную . Легко проверить, что

и искомая оценка

Уравнения (10.118) и (10.119) определяют искомый наблюдатель. Он имеет такую же структуру, что и наблюдатель (10.104).

Пример 10.18. Построим наблюдатели полного и пониженного порядков для системы

В данном случае

Как следует из (10.110), наблюдатель полного порядка имеет вид

или в скалярной форме

Для построения наблюдателя пониженного порядка, как это видно из (10.118) и (10.119), нужно определить матрицы . Матрица должна быть такой, чтобы квадратная матрица была неособой. В остальном она может быть произвольной. Такому условию удовлетворяет матрица Из соотношения (10.113), которое в данном случае принимает вид

имеем

Подставив выражения для в (10.118) и (10.119), получим

Напомним, что матрица или в случае наблюдателя пониженного порядка в данном примере скалярная величина выбирается из условия устойчивости и заданных требований к качеству наблюдателя.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление