Главная > Теория автоматического управления > Теория автоматического управления, Ч.II (Воронов А.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Синтез оптимальных линейных систем по интегральному квадратичному критерию

Рассмотрим задачу синтеза оптимальной системы при условии, что объект описывается уравнением

и критерий оптимальности имеет вид

Здесь — известная вектор-функция; — неотрицательно-определенные матрицы при всех — положительно-определенная матрица при всех

Функции являются непрерывными на интервале Требуется найти управление с обратной связью, при котором при произвольном начальном условии функционал (10.121) принимает минимальное значение.

К такой постановке сводится задача управления, если (10.120) является уравнением в отклонениях и соответственно желаемым является нулевое состояние. Первое слагаемое в (10.121), представляющее квадратичную терминальную ошибку, включается, если необходимо обеспечить максимальную близость состояния системы в конечный момент времени к желаемому состоянию. Слагаемое

является интегральной квадратической ошибкой и характеризует качество регулирования на всем интервале . И наконец, интеграл

есть взвешенная «энергия» управления; он включается в критерии для того, чтобы ограничить управление. Требуемое ограничение на управление, которое в явной форме не учтено в постановке задачи (10.120), (10.121), может быть обеспечено соответствующим выбором весовой функции

Матрицы в общем случае выбирают зависящими от времени. Такой выбор, в частности, связан с тем, что начальные отклонения от свойства систем не зависят: они определяются начальными условиями. Поэтому их следует выбрать такими, чтобы начальные ошибки меньше влияли на величину критерия, чем такие же ошибки, возникающие в последующие моменты времени.

На основе приведенных соображений нельзя выработать рекомендации, которые позволили бы однозначно определить матрицы, входящие в критерии оптимальности. Один из возможных способов выбора этих матриц предложили А. Брайсон и Хо Ю-ши [5]. Они рекомендуют брать их диагональными со следующими элементами: обратные элементы матрицы равными максимально допустимым значениям обратные элементы матрицы Q — произведениям

на максимально допустимые значения обратные элементы матрицы — произведениям на максимально допустимые значения

Если является конечным, то независимо от того, являются ли матрицы постоянными или зависящими от времени, сформулированную задачу назовем задачей синтеза оптимального нестационарного линейного регулятора состояния или коротко — нестационарной задачей. Оптимальное управление имеет вид

где симметричная -матрица К и n-вектор определяются из системы уравнений

при граничных условиях

При оптимальном управлении для любого справедливо равенство

где — скалярная функция, которая определяется из уравнения

при граничном условии . Функция не входит в (10.122)-(10.124), и уравнение (10.127) при нахождении оптимального управления не используется.

Решение задачи синтеза оптимального нестационарного линейного регулятора состояния существует и единственно. Заметим, что в этой задаче не требуется, чтобы объект был вполне управляем. Решение существует и единственно даже в том случае, когда объект является полностью неуправляемым. Это обусловлено тем, что управляемый процесс рассматривается на конечном интервале и вклад неуправляемых координат

ординат в значении критерия оптимальности является конечным даже если они расходятся (т. е. стремятся к бесконечности при ).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление