Математический анализ. Часть I.

  

Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: ФАЗИС, 1997. - xiv + 554 с.

В книге отражена связь курса классического анализа с современными математическими курсами (алгебры, дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, комплексного и функционального анализа).

Основные разделы первой части: введение в анализ (логическая символика, множество, функция, вещественное число, предел, непрерывность); дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Органической частью текста являются примеры приложений развиваемой теории, а также большое количество задач. Второе издание дополнено вопросами и задачами коллоквиумов и экзаменов.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
§ 1. Логическая символика
§ 2. Множество и элементарные операции над множествами
2. Отношение включения.
3. Простейшие операции над множествами.
Упражнения
§ 3. Функция
2. Простейшая классификация отображений.
3. Композиция функций и взаимно обратные отображения.
4. Функция как отношение. График функции.
§ 4. Некоторые дополнения
2. Об аксиоматике теории множеств.
3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств.
Упражнения
ГЛАВА II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел
2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел.
3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества
§ 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
2. Рациональные и иррациональные числа
3. Принцип Архимеда.
4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
Задачи и упражнения
§ 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел
2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля — Лебега)
3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано—Вейерштрасса).
Задачи и упражнения
§ 4. Счетные и несчетные множества
2. Мощность континуума
Задачи и упражнения
ГЛАВА III. ПРЕДЕЛ
2. Свойства предела последовательности
3. Вопросы существования предела последовательности
4. Начальные сведения о рядах
§ 2. Предел функции
2. Свойства предела функции.
3. Общее определение предела функции (предел по базе).
4. Вопросы существования предела функции
ГЛАВА IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
2. Точки разрыва.
§ 2. Свойства непрерывных функций
2. Глобальные свойства непрерывных функций.
ГЛАВА V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Функция, дифференцируемая в точке.
3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала.
4. Роль системы координат.
5. Некоторые примеры
Задачи и упражнения
§ 2. Основные правила дифференцирования
2. Дифференцирование композиции функций
3. Дифференцирование обратной функции
4. Таблица производных основных элементарных функций.
5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции.
6. Производные высших порядков.
§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении.
3. Формула Тейлора.
§ 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления
2. Условия внутреннего экстремума функции.
3. Условия выпуклости функции
4. Правило Лопиталя.
5. Построение графика функции.
§ 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций
2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами.
3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций.
4. Представление функции степенным рядом, аналитичность.
5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел.
§ 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания
2. Барометрическая формула.
3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел.
4. Падение тел в атмосфере.
5. Еще раз о числе e и функции exp(x).
6. Колебания.
§ 7. Первообразная
2. Основные общие приемы отыскания первообразной.
3. Первообразные рациональных функций.
4. Первообразные вида ...
5. Первообразные вида ...
ГЛАВА VI. ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций
2. Определение интеграла Римана
3. Множество интегрируемых функций.
§ 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла
2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования.
3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем
§ 3. Интеграл и производная
2. Формула Ньютона—Лейбница
3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора
4. Замена переменной в интеграле.
5. Некоторые примеры.
§ 4. Некоторые приложения интеграла
2. Длина пути.
3. Площадь криволинейной трапеции.
4. Объем тела вращения.
5. Работа и энергия.
§ 5. Несобственный интеграл
2. Исследование сходимости несобственного интеграла
3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.
ГЛАВА VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИХ ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
2. Открытые и замкнутые множества в R^m
3. Компакты в R^m
§ 2. Предел и непрерывность функции многих переменных
2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций.
ГЛАВА VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. Линейные отображения L : R^m -> R^n.
3. Норма в R^m.
4. Евклидова структура в R^m.
§ 2. Дифференциал функции многих переменных
2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции.
3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке.
§ 3. Основные законы дифференцирования
2. Дифференцирование композиции отображений
3. Дифференцирование обратного отображения
§ 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных
2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных
4. Формула Тейлора
5. Экстремумы функций многих переменных.
6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных
§ 5. Теорема о неявной функции
2. Простейший вариант теоремы о неявной функции.
3. Переход к случаю зависимости
4. Теорема о неявной функции.
§ 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду.
3. Зависимость функций
4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
5. Лемма Морса.
§ 7. Поверхность в R^n и теория условного экстремума
2. Касательное пространство.
3. Условный экстремум
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
ЛИТЕРАТУРА