Главная > Математика > Математический анализ. Часть I. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Дифференцирование обратного отображения

Теорема 4. Пусть — отображение окрестности точки х на окрестность точки Пусть непрерывно в точке х и имеет обратное отображение непрерывное в точке у.

Если при этом отображение дифференцируемо в точке х и касательное к в точке х отображение имеет обратное отображение то отображение дифференцируемо в точке и справедливо равенство

Таким образом, взаимно обратные дифференцируемые отображения имеют в соответствующих точках взаимно обратные касательные отображения.

Положим

тогда

Будем предполагать, что столь мало, что значит,

Из непрерывности в у следует, что

и

Из дифференцируемости в точке следует, что

т. е. можно утверждать даже, что при (см. соотношения (17), (18) из § 1).

Покажем, что если — обратимое линейное отображение, то и при .

В самом деле, из (3) последовательно получаем

где число выбрано так, что при Тогда с учетом соотношения (2) находим

что равносильно соотношению

Отсюда, в частности, следует, что

Учитывая это, из (2) и (4) получаем

или

Из алгебры известно, что если линейному преобразованию отвечает матрица А, то обратному к линейному преобразованию соответствует матрица обратная к матрице . Построение элементов обратной матрицы также известно из алгебры, следовательно, доказанная теорема дает прямой рецепт для построения отображения

Отметим, что при т. е. при якобиан отображения в точке сводится к одному числу — производной функции в точке линейное преобразование сводится к умножению на это число: Это линейное преобразование обратимо тогда и только тогда, когда причем матрица обратного преобразования также состоит из одного числа, равного т. е. обратного к Значит, теорема 4 содержит в себе также доказанное ранее правило отыскания производной обратной функции.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление