§ 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
1. Теорема об обратной функции
Определение 1. Отображение
где
и V — открытые подмножества в
называется
-диффеоморфизмом или диффеоморфизмом гладкости
если
2) f — биекция;
-диффеоморфизмы называют гомеоморфизмами.
Здесь мы, как правило, будем рассматривать только гладкий случай, т. е. случай
или
Следующая часто используемая теорема в идейном плане утверждает, что если дифференциал отображения обратим в точке, то само отображение обратимо в некоторой окрестности этой точки.
Теорема 1 (теорема об обратной функции). Если отображение
области Если таково, что
то существуют окрестность Если точки
и окрестность
точки
такие, что
есть
-диффеоморфизм. При этом если
то
Соотношение
перепишем в виде
Функция
определена при
т. е. определена в окрестности
точки
Мы хотим разрешить уравнение (1) относительно
в некоторой окрестности точки
В силу условий 1°, 2°, 3° теоремы отображение
таково, что
По теореме о неявной функции найдутся окрестность
точки
и отображение
такие, что для любой точки
и
В нашем случае
где Е — единичная матрица; поэтому
Если положить
то соотношение (2) показывает, что отображения
взаимно обратны, т. е.
на У.
Поскольку
то V — окрестность точки
Это означает, что при условиях 1°, 2°, 3° образ
точки
внутренней для
является точкой, внутренней для образа
множества
. В силу формулы (3) матрица
обратима. Значит, отображение
обладает свойствами 1°, 2°, 3° относительно области V и точки
. Тогда по уже доказанному
внутренняя точка множества
Поскольку условия 1°, 2°, 3° в силу формулы (3), очевидно, выполнены в любой точке у Е V, то любая точка
является внутренней точкой множества
Таким образом,
— открытая (и, очевидно, даже связная) окрестность точки
Теперь проверено, что отображение
удовлетворяет всем условиям определения 1 и утверждению теоремы
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих теорему 1. Очень часто теорема об обратной функции используется при переходе от одной системы координат к другой системе координат. Простейший вариант такого преобразования координат рассматривался в аналитической геометрии и линейной алгебре и имел вид
или, в компактной записи,
Это линейное преобразование
имеет обратное
определенное во всем пространстве
тогда и только тогда, когда матрица
обратима, т. е. при условии, что
Теорема об обратной функции является локальным вариантом этого утверждения, опирающимся на то обстоятельство, что гладкое отображение в
малой окрестности точки ведет себя примерно так же, как его дифференциал в этой точке.
Пример 1. Полярные координаты. Отображение
полуплоскости
на плоскость
задаваемое формулами
проиллюстрировано на рис. 57.
Рис. 57
Якобиан этого отображения, как нетрудно подсчитать, равен
, т. е. отличен от нуля в окрестности любой точки
где
. Таким образом, формулы (4) локально обратимы и, значит, локально числа
могут быть приняты в качестве новых координат точки, которую раньше задавали декартовы координаты
.
Координаты
являются хорошо известной системой криволинейных координат на плоскости — это полярные координаты. Их геометрический смысл виден из рис. 57. Отметим, что в силу периодичности функций
отображение (4) при
только локально диффеоморфно, а во всей этой области оно не является биективным. Именно поэтому переход от декартовых координат к полярным всегда сопровождается выбором ветви (т. е. указанием диапазона изменения) аргумента
Полярные координаты
в трехмерном пространстве
называют сферическими координатами. Они связаны с декартовыми координатами формулами
Геометрический смысл параметров
показан на рис. 58.
Рис. 58
Якобиан отображения (5) равен
и в силу теоремы 1 преобразование (5) обратимо в окрестности любой точки
в которой
Множествам, где
или
в пространстве
очевидно, отвечают соответственно сферическая поверхность (на сфере радиуса
), полуплоскость, проходящая через ось
и поверхность конуса с осью
Таким образом, при переходе от координат
к координатам
например, сферическая поверхность и поверхность конуса локально распрямляются: им соответствуют куски плоскостей
соответственно. Аналогичное явление мы наблюдали и в двумерном случае, когда дуге окружности на плоскости
отвечал отрезок прямой на плоскости с координатами
(см. рис. 57). Обратите внимание на то, что это именно локальное выпрямление.
В
-мерном случае полярные координаты вводятся соотношениями
Якобиан этого преобразования равен
и в силу теоремы 1 оно тоже локально обратимо всюду, где этот якобиан отличен от нуля.
Пример 2. Общая идея локального выпрямления кривых. Новые координаты обычно вводят с целью упростить аналитическую запись объектов, участвующих в задаче, и сделать их более обозримыми в этой новой записи.
Пусть, например, на плоскости
некоторая кривая задана уравнением
Пусть
— гладкая функция, а точка
такова, что она лежит на кривой, т. е.
и не является критической точкой функции
например, пусть
.
Попробуем подобрать координаты
так, чтобы в них дуге нашей кривой, содержащей
отвечал отрезок одной из координатных линий, наг пример линии
Положим
Матрица Якоби