Главная > Математика > Математический анализ. Часть I. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано—Вейерштрасса).

Напомним, что окрестностью точки мы назвали интервал, содержащий эту точку; -окрестностью точки х — интервал

Определение 4. Точка называется предельной точкой множества , если любая окрестность этой точки содержит бесконечное подмножество множества X.

Это условие, очевидно, равносильно тому, что в любой окрестности точки есть по крайней мере одна не совпадающая с точка множества X. (Проверьте!)

Приведем несколько примеров.

Если то предельной для X является только точка .

Для интервала предельной является каждая точка отрезка и других предельных точек в этом случае нет.

Для множества рациональных чисел предельной является каждая точка Е, ибо, как мы знаем, в любом интервале вещественных чисел имеются рациональные числа.

Лемма (Больцано—Вейерштрасс). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.

Пусть X — данное под множество Е. Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке . Покажем, что по крайней мере одна из точек отрезка I является предельной для X.

Если бы это было не так, то каждая точка имела бы окрестность в которой либо вообще нет точек множества X, либо их там конечное число. Совокупность таких окрестностей, построенных для каждой точки образует покрытие отрезка I интервалами из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему интервалов, покрывающую отрезок I. Но, поскольку эта же система покрывает все множество X. Однако в каждом интервале только конечное число точек множества X, значит, и в их объединении тоже конечное число точек X, т. е. X — конечное множество. Полученное противоречие завершает доказательство.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление