Главная > Математика > Математический анализ. Часть I. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задачи и упражнения

1. Покажите, что

если I — произвольная система вложенных отрезков, то если I — система вложенных интервалов то пересечение может оказаться пустым.

Указание:

2. Покажите, что

а) из системы отрезков, покрывающей отрезок, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот отрезок;

из системы интервалов, покрывающей интервал, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот интервал;

из системы отрезков, покрывающей интервал, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот интервал.

3. Покажите, что если вместо полного множества всех вещественных чисел взять только множество рациональных чисел, а под отрезком, интервалом и окрестностью точки понимать соответствующие подмножества то ни одна из доказанных выше трех основных лемм не останется в силе.

4. Покажите, что если в качестве аксиомы полноты множества действительных чисел взять

a) принцип Больцано — Вейерштрасса

или

b) принцип Бореля — Лебега,

то получится равносильная прежней система аксиом

Указание. Из а) следует принцип Архимеда и аксиома полноты в прежней форме.

c) Замена аксиомы полноты принципом Коши—Кантора приводит к системе аксиом, которая становится равносильной исходной, если кроме принципа Коши — Кантора постулировать также принцип Архимеда (см. задачу 21 предыдущего параграфа).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление