Макеты страниц
Задачи и упражнения
(см. скан)
|
Оглавление
- ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
- ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
- § 1. Логическая символика
- § 2. Множество и элементарные операции над множествами
- 2. Отношение включения.
- 3. Простейшие операции над множествами.
- Упражнения
- § 3. Функция
- 2. Простейшая классификация отображений.
- 3. Композиция функций и взаимно обратные отображения.
- 4. Функция как отношение. График функции.
- § 4. Некоторые дополнения
- 2. Об аксиоматике теории множеств.
- 3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств.
- Упражнения
ГЛАВА II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
- § 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел
- 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел.
- 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества
- § 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
- 2. Рациональные и иррациональные числа
- 3. Принцип Архимеда.
- 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
- Задачи и упражнения
- § 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел
- 2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля — Лебега)
- 3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано—Вейерштрасса).
- Задачи и упражнения
- § 4. Счетные и несчетные множества
- 2. Мощность континуума
- Задачи и упражнения
- ГЛАВА III. ПРЕДЕЛ
- 2. Свойства предела последовательности
- 3. Вопросы существования предела последовательности
- 4. Начальные сведения о рядах
- § 2. Предел функции
- 2. Свойства предела функции.
- 3. Общее определение предела функции (предел по базе).
- 4. Вопросы существования предела функции
- ГЛАВА IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
- 2. Точки разрыва.
- § 2. Свойства непрерывных функций
- 2. Глобальные свойства непрерывных функций.
- ГЛАВА V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
- 2. Функция, дифференцируемая в точке.
- 3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала.
- 4. Роль системы координат.
- 5. Некоторые примеры
- Задачи и упражнения
- § 2. Основные правила дифференцирования
- 2. Дифференцирование композиции функций
- 3. Дифференцирование обратной функции
- 4. Таблица производных основных элементарных функций.
- 5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции.
- 6. Производные высших порядков.
- § 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
- 2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении.
- 3. Формула Тейлора.
- § 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления
- 2. Условия внутреннего экстремума функции.
- 3. Условия выпуклости функции
- 4. Правило Лопиталя.
- 5. Построение графика функции.
- § 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций
- 2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами.
- 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций.
- 4. Представление функции степенным рядом, аналитичность.
- 5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел.
- § 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания
- 2. Барометрическая формула.
- 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел.
- 4. Падение тел в атмосфере.
- 5. Еще раз о числе e и функции exp(x).
- 6. Колебания.
- § 7. Первообразная
- 2. Основные общие приемы отыскания первообразной.
- 3. Первообразные рациональных функций.
- 4. Первообразные вида ...
- 5. Первообразные вида ...
ГЛАВА VI. ИНТЕГРАЛ
- § 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций
- 2. Определение интеграла Римана
- 3. Множество интегрируемых функций.
- § 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла
- 2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования.
- 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем
- § 3. Интеграл и производная
- 2. Формула Ньютона—Лейбница
- 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора
- 4. Замена переменной в интеграле.
- 5. Некоторые примеры.
- § 4. Некоторые приложения интеграла
- 2. Длина пути.
- 3. Площадь криволинейной трапеции.
- 4. Объем тела вращения.
- 5. Работа и энергия.
- § 5. Несобственный интеграл
- 2. Исследование сходимости несобственного интеграла
- 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.
- ГЛАВА VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИХ ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- 2. Открытые и замкнутые множества в R^m
- 3. Компакты в R^m
- § 2. Предел и непрерывность функции многих переменных
- 2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций.
- ГЛАВА VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- 2. Линейные отображения L : R^m -> R^n.
- 3. Норма в R^m.
- 4. Евклидова структура в R^m.
- § 2. Дифференциал функции многих переменных
- 2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции.
- 3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
- 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке.
- § 3. Основные законы дифференцирования
- 2. Дифференцирование композиции отображений
- 3. Дифференцирование обратного отображения
- § 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных
- 2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных
- 4. Формула Тейлора
- 5. Экстремумы функций многих переменных.
- 6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных
- § 5. Теорема о неявной функции
- 2. Простейший вариант теоремы о неявной функции.
- 3. Переход к случаю зависимости
- 4. Теорема о неявной функции.
- § 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
- 2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду.
- 3. Зависимость функций
- 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
- 5. Лемма Морса.
- § 7. Поверхность в R^n и теория условного экстремума
- 2. Касательное пространство.
- 3. Условный экстремум
- НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
- ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
- ЛИТЕРАТУРА
|