Макеты страниц 3. Вопросы существования предела последовательностиа. Критерий КошиОпределение 7. Последовательность Теорема 4 (критерий Коши сходимости последовательности). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Пусть Пусть теперь
но поскольку имеется всего конечное число членов последовательности Для Из этих определений видно, что Поскольку при любом
а при
то при к
Но из (1) следует, что при
поэтому при
Сравнивая (2) и (3), находим, что при любом
и мы показали, что Пример 8. Последовательность
т. е. найдется В нашем случае достаточно положить Пример 9. Пусть
— некоторая последовательность конечных двоичных дробей, причем каждая следующая дробь получается дописыванием знака 0 или 1 к предыдущей. Покажем, что такая последовательность всегда сходится. Пусть
Таким образом, подобрав по заданному Пример 10. Рассмотрим последовательность
Поскольку для любого
то в силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела. b. Критерий существования предела монотонной последовательностиОпределение 8. Последовательность Определение 9. Последовательность Аналогично определяется последовательность, ограниченная снизу. Теорема 5 (Вейерштрасс). Для того чтобы неубывающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху. То, что любая сходящаяся последовательность ограничена, было доказано при рассмотрении общих свойств предела последовательности, поэтому интерес представляет только второе утверждение теоремы. По условию множество значений последовательности По определению верхней грани, для любого Разумеется, аналогичную теорему можно сформулировать и доказать для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу. В этом случае Замечание. Ограниченность сверху (снизу) неубывающей (невозрастающей) последовательности на самом деле, очевидно, равносильна ограниченности этой последовательности. Рассмотрим несколько полезных примеров. Пример Действительно, если Члены последовательности положительны, т. е. последовательность ограничена снизу. Значит, она имеет предел. Пусть
откуда находим Следствие При фиксированном Следствие Пусть Если
Пример 12. Если
с. Число еПример 13. Докажем существование предела Пределом в данном случае является число, обозначаемое после Эйлера буквой Проверим сначала следующее неравенство:
(называемое иногда неравенством Я. Бернулли). При
По принципу индукции утверждение, таким образом, справедливо для любого Из выкладки, кстати, видно, что при Покажем теперь, что последовательность Пусть
Поскольку члены последовательности положительны, существует предел Но тогда
Итак, Определение 10.
d. Подпоследовательность и частичный предел последовательностиОпределение 11. Если Например, последовательность Лемма 1 (Больцано—Вейерштрасс). Каждая ограниченная последовательность действительных чисел содержит сходящуюся подпоследовательность. Пусть Е — множество значений ограниченной последовательности Если Е бесконечно, то по принципу Больцано — Вейерштрасса оно обладает по крайней мере одной предельной точкой х. Поскольку х — предельная точка Поскольку Определение 12. Условимся писать Запишем это и два аналогичных определения в логических обозначениях:
В последних двух случаях говорят соответственно: последовательность Заметим, что последовательность может быть неограниченной, но не стремиться ни к плюс, ни к минус, ни просто к бесконечности. Например, Последовательности, стремящиеся к бесконечности, мы не причисляем к сходящимся. Легко видеть, что в соответствии с этими определениями можно дополнить только что доказанную лемму, сформулировав ее несколько иначе. Лемма 2. Из каждой последовательности действительных чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность или подпоследовательность, стремящуюся к бесконечности. Новым является только тот случай, когда последовательность Пусть Определение 13. Число Итак, с учетом всех перечисленных возможностей запишем теперь кратко определение нижнего предела последовательности
Аналогично, рассматривая последовательность Определение 14.
Приведем несколько примеров. (кликните для просмотра скана) Определение 15. Число (или символ — Утверждение 1. Нижний и верхний пределы ограниченной последовательности являются соответственно наименьшим и наибольшим из ее частичных пределов. Докажем, это, например, для нижнего предела Для чисел Неравенство Для верхнего предела доказательство, разумеется, аналогично проведенному. Заметим теперь, что если последовательность не ограничена снизу, то из нее можно выделить подпоследовательность, стремящуюся Учитывая сказанное, можно, таким образом, заключить, что справедливо Утверждение V. Для любой последовательности нижний предел есть наименьший из ее частичных пределов, а верхний предел последовательности — наибольший из ее частичных пределов. Следствие 1. Последовательность имеет предел или стремится к минус или плюс бесконечности в том и только в том случае, когда нижний и верхний пределы последовательности совпадают. М Случай, когда Следствие 2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая ее подпоследовательность. Нижний и верхний пределы подпоследовательности заключены между нижним и верхним пределами самой последовательности. Если последовательность сходится, то ее нижний и верхний пределы совпадают. Тогда совпадают нижний и верхний пределы подпоследовательности, откуда вытекает ее сходимость, причем, разумеется, к пределу всей последовательности. Обратное утверждение очевидно, поскольку в качестве подпоследовательности можно взять саму последовательность. Следствие 3. Лемма Больцано — Вейерштрасса как в узкой, так и в расширенной формулировке вытекает из утверждения 1 и утверждения V соответственно. 4 Действительно, если последовательность Если последовательность не ограничена с какой-то стороны, то существует подпоследовательность, стремящаяся к соответствующей бесконечности. Заключительные замечания. Мы выполнили (и даже с некоторым превышением) все три пункта намеченной перед началом параграфа программы: дали точное определение предела последовательности, доказали единственность предела, выяснили связь операции предельного перехода со структурой множества действительных чисел, получили критерий сходимости последовательности. Теперь рассмотрим один специальный часто встречающийся и очень полезный вид последовательностей — ряды.
|
Оглавление
|