Главная > Математика > Математический анализ. Часть I. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Некоторые примеры

Пример 1. Пусть Покажем, что

Мы воспользовались теоремой о пределе произведения, непрерывностью функции эквивалентностью при и теоремой о пределе композиции.

Пример 2. Покажем, что

Пример 3. Покажем, что если то

Пример 4. Если

Доказательство аналогично разобранным в примерах 1 и 3.

Пример 5. Мгновенная скорость и ускорение материальной точки. Пусть материальная точка движется в плоскости и в фиксированной системе координат закон ее движения описывается дифференцируемыми функциями от времени

или, что то же самое, вектором

Как мы выяснили в пункте 1 настоящего параграфа, скорость точки в момент есть вектор

где — производные функций по времени

Ускорение есть скорость изменения вектора поэтому

где — производные функций или так называемые вторые производные функций

Таким образом, по смыслу физической задачи функции описывающие движение материальной точки, должны иметь и первые и вторые производные.

Рассмотрим, в частности, равномерное движение точки по окружности радиуса Пусть — угловая скорость точки, т. е. величина центрального угла, на который перемещается точка за единицу времени.

В декартовых координатах (в силу определений функций , это движение запишется в виде

а если , то в виде

Без ограничения общности дальнейших выводов и для сокращения записи будем считать, что

Тогда в силу результатов примеров 3 и 4

Из подсчета скалярного произведения

как и следовало в этом случае ожидать, получаем, что вектор скорости ортогонален радиус-вектору и направлен по касательной к окружности. Далее, для ускорения имеем

т. е. и ускорение, таким образом, действительно центростремительное, ибо имеет направление, противоположное направлению вектора

Далее,

где

Подсчитаем, исходя из этих формул, например, величину скорости низкого спутника Земли. В этом случае совпадает с радиусом Земли, т. е. км, а где — ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Таким образом,

Пример 6. Оптическое свойство параболического зеркала. Рассмотрим (рис. 16) параболу и построим касательную к ней в точке

Поскольку

Значит, искомая касательная имеет уравнение

или

где

Рис. 16

Рис. 17

Вектор как видно из последнего уравнения, ортогонален прямой (25). Покажем, что векторы образуют с равные углы. Вектор есть единичный вектор направления оси — вектор, направленный из точки касания

— фокус параболы. Итак,

Таким образом, показано, что волновой источник, помещенный в точке — в фокусе параболического зеркала, даст пучок, параллельный оси зеркала, а приходящий параллельно оси пучок зеркало пропустит через фокус (см. рис. 16).

Пример 7. Этим примером мы покажем, что касательная является всего-навсего лучшим линейным приближением графика функции в окрестности точки касания и вовсе не обязана иметь с ним единственную общую точку, как это было в случае окружности и как это вообще имеет место в случае выпуклых кривых. (О выпуклых кривых будет специальный разговор.)

Пусть функция задана в виде

График этой функции изображен на рис. 17.

Найдем касательную к графику в точке (0,0). Поскольку

то касательная имеет уравнение

или просто

Таким образом, в нашем примере касательная совпадает с осью с которой график имеет бесконечное количество точек пересечения в любой окрестности точки касания.

В силу определения дифференцируемости функции в точке имеем

Поскольку правая часть этого равенства стремится к нулю при , то так что дифференцируемая в точке функция обязана быть непрерывной в этой точке.

Покажем, что обратное, конечно, не всегда имеет место.

Пример 8. Пусть (рис. 18). Тогда в точке

Следовательно, в этой точке функция не имеет производной, а значит, и не дифференцируема в этой точке.

Пример 9. Покажем, что при .

Рис. 18

Таким образом, функция дифференцируема, причем или и тем самым , или

Мы воспользовались полученной в примере 39, гл. III, § формулой при

Пример при

Таким образом, .

Пример при

Таким образом,

При имеем поэтому для достаточно малых значений можно написать

при Мы воспользовались здесь тем, что, как показано в примере 38, гл. III, § 2, п. 4, при .

Пример при ,

Таким образом,

Мы воспользовались формулой перехода к другому основанию логарифмов и соображениями, изложенными при рассмотрении примера

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление