Главная > Математика > Математический анализ. Часть I. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задачи и упражнения

1. Покажите, что

касательная к эллипсу

в точке имеет уравнение

световые лучи от источника, помещенного в одном из двух фокусов

0) эллипса с полуосями собираются эллиптическим зеркалом в другом фокусе.

2. Напишите формулы для приближенного вычисления значений

при значениях а, близких к нулю;

при значениях близких к нулю;

при значениях а, близких к нулю;

при значениях близких к нулю.

3. Стакан с водой вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью

Пусть — уравнение кривой, получающейся в сечении поверхности жидкости плоскостью, проходящей через ось вращения.

Покажите, что где — ускорение свободного падения (см. пример 5).

Подберите так, чтобы функция удовлетворяла условию, указанному в а) (см. пример 6).

Изменится ли приведенное в а) условие на функцию если ось вращения не будет совпадать с осью стакана?

4. Тело, которое можно считать материальной точкой, под действием силы тяжести скатывается с гладкой горки, являющейся графиком дифференцируемой функции

Найдите горизонтальную и вертикальную компоненты вектора ускорения, которое имеет тело в точке

В случае, когда и тело скатывается с большой высоты, найдите ту точку параболы в которой горизонтальная составляющая ускорения максимальна.

5. Положим

и продолжим эту функцию на всю числовую прямую с периодом 1. Эту продолженную функцию обозначим через Пусть, далее,

Функция имеет период и производную, равную или —1 всюду, кроме точек Пусть

Покажите, что функция определена и непрерывна на но ни в одной точке не имеет производной. (Этот пример принадлежит известному современному голландскому математику Б. Л. Ван дер Вардену. Первые примеры непрерывных функций, не имеющих производной, были построены Больцано (1830 г.) и Вейерштрассом (1860 г.).)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление