3. Дифференцирование обратной функции
Теорема 2 (теорема о производной обратной функции). Пусть функции
взаимно обратны и непрерывны в точках
соответственно. Если функция
дифференцируема в точке
то функция
также дифференцируема в точке
причем
Поскольку функции
взаимно обратны, то величины
при
не обращаются в нуль, если
Из непрерывности
в
в у о можно, кроме того, заключить, что
Используя теперь теорему о пределе композиции функций и арифметические свойства предела, находим
Таким образом, показано, что в точке
функция
имеет производную и
Замечание 1. Если бы нам заранее было известно, что функция дифференцируема в точке
то из тождества
по теореме о дифференцировании композиции функций мы сразу же нашли бы, что
Замечание 2. Условие
очевидно, равносильно тому, что отображение
осуществляемое дифференциалом
, имеет обратное отображение
задаваемое формулой
Значит, в терминах дифференциалов вторую фразу формулировки теоремы 3 можно было бы записать следующим образом:
Если функция
дифференцируема в точке
этой точке ее дифференциал
обратим, то дифференциал функции
обратной к
существует в точке
и является отображением
обратным к отображению
.
Пример 9. Покажем, что
при
Функции
взаимно обратны и непрерывны (см. гл. IV, § 2, пример 8), причем
, если
При
для значений
имеем
Таким образом, по теореме 3
Знак перед радикалом выбран с учетом того, что
при
Пример 10. Рассуждая, как и в предыдущем примере, можно показать (с учетом примера 9 из § 2 гл. IV), что
Действительно,
Знак перед радикалом выбран с учетом того, что
если
Пример
Действительно,
Пример
Действительно,
Пример 13. Мы уже знаем (см. примеры 10, 12 из § 1), что функции
имеют производные
и
Проверим, как это согласуется с теоремой 3:
Пример 14. Гиперболические, обратные гиперболические функции и их производные. Функции
называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом 1 от х.
Эти в данный момент вводимые нами чисто формально функции, как выяснится, во многих вопросах появляются так же естественно, как появляются круговые функции
Заметим, что
т. е. гиперболический синус — нечетная функция, а гиперболический косинус — функция четная.
Кроме того, очевидно следующее основное тождество:
Графики функций
изображены на рис. 19.
Рис. 19
Из определения функции
и свойств функции
следует, что
— непрерывная строго возрастающая функция, отображающая взаимно однозначно Е на К. Обратная функция к
таким образом, существует, определена на
непрерывна и строго монотонно возрастает.
Ее обозначают символом
(читается ареа-синус от у»). Эту функцию легко выразить через уже известные. Решая уравнение
относительно х, найдем последовательно
и
Итак,
Аналогично, используя монотонность функции
на участках
можно построить функции
определенные для
и обратные к ограничению функции
на
соответственно.
Они задаются формулами
Из приведенных определений находим
а на основе теоремы о производной обратной функции получаем
Последние три соотношения можно проверить, используя явные выражения для обратных гиперболических функций
.
Например,
Подобно
можно рассмотреть функции
называемые гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом соответственно, а также обратные им функции ареа-тангенс:
и ареа-котангенс:
Решения элементарных уравнений, приводящие к этим формулам, мы опускаем.
По правилам дифференцирования имеем
По теореме о производной обратной функции
Две последние формулы можно проверить и непосредственным дифференцированием явных формул для функций
.