3. Дифференцирование обратной функции
Теорема 2 (теорема о производной обратной функции). Пусть функции 
взаимно обратны и непрерывны в точках 
соответственно. Если функция 
дифференцируема в точке 
то функция 
также дифференцируема в точке 
причем
Поскольку функции 
взаимно обратны, то величины 
при 
не обращаются в нуль, если 
Из непрерывности 
в 
в у о можно, кроме того, заключить, что 
Используя теперь теорему о пределе композиции функций и арифметические свойства предела, находим
Таким образом, показано, что в точке 
функция 
имеет производную и
Замечание 1. Если бы нам заранее было известно, что функция дифференцируема в точке 
то из тождества 
по теореме о дифференцировании композиции функций мы сразу же нашли бы, что 
Замечание 2. Условие 
очевидно, равносильно тому, что отображение 
осуществляемое дифференциалом 
, имеет обратное отображение 
задаваемое формулой 
Значит, в терминах дифференциалов вторую фразу формулировки теоремы 3 можно было бы записать следующим образом:
Если функция 
дифференцируема в точке 
этой точке ее дифференциал 
обратим, то дифференциал функции 
обратной к 
существует в точке 
и является отображением
обратным к отображению 
.
Пример 9. Покажем, что 
при 
Функции 
взаимно обратны и непрерывны (см. гл. IV, § 2, пример 8), причем 
, если 
При 
для значений 
имеем 
Таким образом, по теореме 3
Знак перед радикалом выбран с учетом того, что 
при 
Пример 10. Рассуждая, как и в предыдущем примере, можно показать (с учетом примера 9 из § 2 гл. IV), что
Действительно,
Знак перед радикалом выбран с учетом того, что 
если 
Пример 
Действительно,
Пример 
Действительно,
Пример 13. Мы уже знаем (см. примеры 10, 12 из § 1), что функции 
имеют производные 
и
Проверим, как это согласуется с теоремой 3:
Пример 14. Гиперболические, обратные гиперболические функции и их производные. Функции
называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом 1 от х.
Эти в данный момент вводимые нами чисто формально функции, как выяснится, во многих вопросах появляются так же естественно, как появляются круговые функции 
Заметим, что
т. е. гиперболический синус — нечетная функция, а гиперболический косинус — функция четная.
Кроме того, очевидно следующее основное тождество:
Графики функций 
изображены на рис. 19.
Рис. 19
Из определения функции 
и свойств функции 
следует, что 
— непрерывная строго возрастающая функция, отображающая взаимно однозначно Е на К. Обратная функция к 
таким образом, существует, определена на 
непрерывна и строго монотонно возрастает.
Ее обозначают символом
(читается ареа-синус от у»). Эту функцию легко выразить через уже известные. Решая уравнение
относительно х, найдем последовательно
и
Итак,
Аналогично, используя монотонность функции 
на участках 
можно построить функции 
определенные для 
и обратные к ограничению функции 
на 
соответственно.
Они задаются формулами
Из приведенных определений находим
а на основе теоремы о производной обратной функции получаем
Последние три соотношения можно проверить, используя явные выражения для обратных гиперболических функций 
.
Например,
Подобно 
можно рассмотреть функции
называемые гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом соответственно, а также обратные им функции ареа-тангенс:
и ареа-котангенс:
Решения элементарных уравнений, приводящие к этим формулам, мы опускаем.
По правилам дифференцирования имеем
По теореме о производной обратной функции
Две последние формулы можно проверить и непосредственным дифференцированием явных формул для функций 
.
