Главная > Математика > Математический анализ. Часть I. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Барометрическая формула.

Так называется формула, указывающая зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря.

Пусть — давление на высоте Поскольку есть вес столба воздуха над площадкой в расположенной на высоте то отличается от весом порции газа, попавшей в параллелепипед с основаниями в виде исходной площадки в расположенной на высоте , и такой же площадки на высоте Пусть — плотность воздуха на высоте Поскольку непрерывно зависит от , то можно считать, что масса указанной порции воздуха может быть вычислена по формуле

где — некоторый уровень высоты в промежутке от до Значит, вес этой массы есть

Таким образом,

Поделив это равенство на и перейдя к пределу при с учетом того, что тогда и , получаем

Таким образом, скорость изменения давления естественно оказалась пропорциональной плотности воздуха на соответствующей высоте.

Чтобы получить уравнение для функции исключим из (5) функцию В силу закона Клапейрона давление , молярный объем V и температура Кельвина Т газа связаны соотношением

где — так называемая универсальная газовая постоянная. Если М — масса одного моля воздуха, его объем, то поэтому из (6) находим

Полагая , таким образом, имеем

Если теперь принять, что температура описываемых нами слоев воздуха постоянна, то из (5) и (7) окончательно находим

Это дифференциальное уравнение можно переписать в виде

или

откуда

или

Множитель определяется из известного начального условия в силу которого

Итак, мы нашли следующую зависимость давления от высоты:

Для воздуха при комнатной температуре (порядка известно значение Известно также, что . Таким

образом, формула (9) приобретает вполне законченный вид после подстановки этих числовых значений и А. В частности, из (9) видно, что давление упадет раз на высоте км. Оно возрастет во столько же раз, если опуститься в шахту на глубину порядка 7,7 км.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление