Главная > Математика > Математический анализ. Часть I. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел.

Известно, что ядра тяжелых элементов подвержены самопроизвольному (спонтанному) распаду. Это так называемая естественная радиоактивность.

Основной статистический закон радиоактивности (справедливый, следовательно, для не слишком малых количеств и концентраций вещества) состоит в том, что количество распадов за малый промежуток времени , прошедший от момента пропорционально и количеству не распавшихся к моменту t атомов вещества, т. е.

где — числовой коэффициент, характерный для данного химического элемента.

Таким образом, функция удовлетворяет уже знакомому дифференциальному уравнению

из которого следует, что

где начальное количество атомов вещества.

Время Т, за которое происходит распад половины из начального количества атомов, называют периодом полураспада. Величина Т находится, таким образом, из уравнения , т. е.

Например, для полония суток, для радия лет, для урана лет, а для его изотопа лет.

Ядерная реакция — это взаимодействие ядер или взаимодействие ядра с элементарными частицами, в результате которого появляются ядра нового типа. Это может быть ядерный синтез, когда слияние ядер более легких элементов приводит к образованию ядер более тяжелого элемента (например, два ядра тяжелого водорода дают, с потерей массы и выделением энергии, ядро гелия); это может быть распад ядра и образование ядра (ядер) более легких элементов. В частности, такой распад происходит примерно в половине случаев столкновения нейтрона с ядром урана При делении ядра урана образуется 2—3 новых нейтрона, которые могут участвовать в дальнейшем взаимодействии с ядрами, вызывая их деление и тем самым размножение нейтронов. Ядерная реакция такого типа называется цепной реакцией.

Опишем принципиальную математическую модель цепной реакции в некотором радиоактивном веществе и получим закон изменения количества нейтронов в зависимости от времени.

Возьмем вещество в виде шара радиуса Бели не слишком мало, то за малый промежуток времени , отсчитываемый от момента с одной стороны, произойдет рождение новых нейтронов в количестве, пропорциональном с другой — потеря части нейтронов за счет их выхода за пределы шара.

Если — скорость нейтрона, то за время покинуть шар могут только те из них, которые удалены от границы не более чем на расстояние , да и то если их скорость направлена примерно по радиусу. Считая, что такие нейтроны составляют неизменную долю от попавших в рассматриваемую зону и что нейтроны в шаре распределены примерно равномерно, можно сказать, что количество теряемых за время нейтронов пропорционально и отношению объема указанной приграничной области к объему шара.

Сказанное приводит к равенству

(ибо объем рассматриваемой зоны равен примерно объем шара Коэффициенты а и (3 зависят только от рассматриваемого радиоактивного вещества.

Из соотношения (11) после деления на и перехода к пределу при получаем

откуда

Из полученной формулы видно, что при количество нейтронов будет экспоненциально во времени расти. Характер этого роста, независимо от начального условия таков, что за очень короткое время происходит практически полный распад вещества с выделением колоссальной энергии — это и есть взрыв.

Если то очень скоро реакция прекращается ввиду того, что теряется больше нейтронов, чем рождается.

Если же выполнено пограничное между рассмотренными случаями условие а то устанавливается равновесие между рождением нейтронов и их выходом из реакции, в результате чего их количество остается примерно постоянным.

Величина при которой называется критическим радиусом, а масса вещества в шаре такого объема называется критической массой вещества.

Для урана критический радиус равен примерно 8,5 см, а критическая масса около 50 кг.

В котлах, где подогрев пара происходит за счет цепной реакции в радиоактивном веществе, имеется искусственный источник нейтронов, который доставляет в делящуюся массу определенное количество нейтронов в единицу времени. Таким образом, для атомного реактора уравнение (12) немного видоизменяется:

Это уравнение решается тем же приемом, что и уравнение (12), ибо от функции если Следовательно, решение уравнения (13) имеет вид

Из этого решения видно, что если (сверхкритическая масса), то произойдет взрыв. Если же масса докритическая, т. е. то очень скоро будем иметь

Таким образом, если поддерживать массу радиоактивного вещества в докритическом состоянии, но близком к критическому, то независимо от мощности дополнительного источника нейтронов, т. е. независимо от величины можно получить большие значения значит, и большую мощность реактора. Удерживание процесса в прикритической зоне — дело деликатное и осуществляется довольно сложной системой автоматического регулирования.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление