Главная > Математика > Математический анализ. Часть I. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Падение тел в атмосфере.

Сейчас нас будет интересовать скорость тела, падающего на Землю под действием силы тяжести.

Если бы не было сопротивления воздуха, то при падении с относительно небольших высот имело бы место соотношение

вытекающее из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения, в силу которого при (R — радиус Земли)

Движущееся в атмосфере тело испытывает сопротивление, зависящее от скорости движения, в результате чего скорость свободного падения тяжелого тела в атмосфере не растет неограниченно, а устанавливается на некотором уровне. Например, при затяжном прыжке скорость парашютиста в нижних слоях атмосферы устанавливается в пределах 50-60 м/с.

Для диапазона скоростей от 0 до 80 м/с будем считать силу сопротивления пропорциональной скорости тела. Коэффициент пропорциональности, разумеется, зависит от формы тела, которую в одних случаях стремятся сделать хорошо обтекаемой (бомба), а в других случаях (парашют) имеют прямо противоположную цель. Приравнивая действующие на тело силы, приходим к следующему уравнению, которому должна удовлетворять скорость тела, падающего в атмосфере:

Разделив это уравнение наши обозначив — через окончательно получаем

Мы пришли к уравнению, которое только обозначениями отличается от уравнения (13). Заметим, что если положить то, поскольку из (13) можно получить равносильное уравнение

которое с точностью до обозначений совпадает с уравнением (8) или уравнением (10). Таким образом, мы вновь пришли к уравнению, решением которого является экспоненциальная функция

Отсюда следует, что решение уравнения (13) имеет вид

а решение основного уравнения (15) имеет вид

где — начальная вертикальная скорость тела.

Из (16) видно, что при падающее в атмосфере тело выходит на стационарный режим движения, причем Таким образом, в отличие от падения в безвоздушном пространстве, скорость падения в атмосфере зависит не только от формы тела, но и от его массы. При а правая часть равенства (16) стремится к т. е. к решению уравнения (14), получающегося из (15) при

Используя формулу (16), можно составить представление о том, как быстро происходит выход на предельную скорость падения в атмосфере.

Например, если парашют рассчитан на то, что человек средней комплекции приземляется при раскрытом парашюте со скоростью порядка то, раскрыв парашют после затяжного свободного падения, когда скорость падения составляет примерно он уже через 3 секунды будет иметь скорость около

Действительно, из приведенных данных и соотношения (16) находим поэтому соотношение (16) приобретает вид

Поскольку то при получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление