Главная > Математика > Математический анализ. Часть I. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Первообразные вида ...

Пусть, как и в пункте 4, — рациональная функция. Рассмотрим некоторые специальные первообразные вида

где — функция от х.

Прежде всего, ясно, что если удастся сделать замену так, что обе функции окажутся рациональными функциями от то — тоже рациональная функция и

т. e. дело сведется к интегрированию рациональной функции.

Мы рассмотрим следующие специальные случаи задания функции

а. Если где то, полагая получаем

и подынтегральное выражение рационализируется.

Пример 19.

b. Рассмотрим теперь случай, когда с, т. е. речь идет об интегралах вида

Выделяя полный квадрат в трехчлене и делая соответствующую линейную замену переменной, сводим общий случай к одному из следующих трех простейших:

Для рационализации этих интегралов теперь достаточно положить соответственно

Эти подстановки были предложены еще Эйлером (см. задачу 3 в конце параграфа).

Проверим, например, что после первой подстановки мы сведем первый интеграл к интегралу от рациональной функции.

В самом деле, если то , откуда

и, в свою очередь,

Таким образом, выразились рационально через и, а следовательно, интеграл привелся к интегралу от рациональной функции.

Интегралы (18) подстановками (или соответственно приводятся также к тригонометрической форме

и

Пример 20.

Полагая имеем откуда Поэтому

Теперь остается проделать обратный путь замен:

с. Эллиптические интегралы. Очень важными являются также первообразные вида

где — многочлен степени Такой интеграл, как было показано Абелем и Лиувиллем, вообще говоря, уже не выражается через элементарные функции.

При интеграл (19) называется эллиптическим, а при — гиперэллиптическим.

Можно показать, что общий эллиптический интеграл элементарными подстановками с точностью до слагаемых, выражающихся через элементарные функции, приводится к следующим трем стандартным эллиптическим интегралам:

где — параметры, причем во всех трех случаях параметр лежит в интервале

Подстановкой эти интегралы можно свести к следующим каноническим интегралам или их комбинациям:

Интегралы (23), (24), (25) называются соответственно эллиптическими интегралами первого, второго и третьего рода (в форме Лежандра). Через обозначают эллиптические интегралы (23) и (24) первого и второго рода соответственно, выделяемые условиями

Функции часто используются, и потому составлены достаточно подробные таблицы их значений для

Эллиптические интегралы, как показал Абель, естественно рассматривать в комплексной области, в неразрывной связи с так называемыми эллиптическими функциями, которые соотносятся с эллиптическими интегралами так же, как, например, функция с интегралом .

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление