Главная > Математика > Математический анализ. Часть I. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Простейшая классификация отображений.

Когда функцию называют отображением, значение которое она принимает на элементе , обычно называют образом элемента х.

Образом множества при отображении называют множество

тех элементов У, которые являются образами элементов множества А.

Множество

тех элементов X, образы которых содержатся в В, называют прообразом (или полным прообразом) множества (рис. 6).

Про отображение говорят, что оно:

сюръективно (или есть отображение X на если

инъективно (или есть вложение, инъекция), если для любых элементов множества X

т. е. различные элементы имеют различные образы;

биективно (или взаимно однозначно), если оно сюръективно и инъективно одновременно.

Рис. 6

Если отображение биективно, т. е. является взаимно однозначным соответствием между элементами множеств X и Y, то естественно возникает отображение

которое определяется следующим образом: если то т. е. элементу ставится в соответствие тот элемент х, образом которого при отображении является у. В силу сюръективности такой элемент х найдется, а ввиду инъективности он единственный. Таким образом, отображение определено корректно. Это отображение называют обратным по отношению к исходному отображению

Из построения обратного отображения видно, что само является биективным и что обратное к нему отображение совпадает с

Таким образом, свойство двух отображений быть обратными является взаимным: если — обратное для то, в свою очередь, — обратное для

Заметим, что символ прообраза множества ассоциируется с символом обратной функции, однако следует иметь в виду, что прообраз множества определен для любого отображения , даже если оно не является биективным и, следовательно, не имеет обратного.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление