Главная > Математика > Математический анализ. Часть I. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.

До сих пор мы говорили о несобственных интегралах с одной особенностью, связанной с неограниченностью функции у одного из пределов интегрирования или с неограниченностью самого этого предела. Здесь мы укажем, в каком смысле понимаются другие возможные варианты несобственного интеграла.

Если оба предела интегрирования являются особенностями того или другого из указанных выше типов, то полагают по определению

где с — произвольная точка промежутка

При этом предполагается, что каждый из несобственных интегралов в правой части соотношения (12) сходится. В противном случае говорят, что интеграл, стоящий в левой части (12), расходится.

В силу замечания 2 и свойства аддитивности несобственного интеграла, определение (12) корректно в том смысле, что оно на самом деле не зависит от выбора точки с

Пример 13.

Пример 14. Интеграл

называется интегралом Эйлера — Пуассона, а иногда еще и интегралом Гауеса. Он, очевидно, сходится в указанном выше смысле. Позже будет показано, что он равен

Пример 15. Интеграл

расходится, поскольку при любом а разойдется по крайней мере один из двух интегралов

Пример 16. Интеграл

сходится, если сходится каждый из интегралов

Первый из этих интегралов сходится, если ибо

при Второй интеграл сходится при что можно проверить непосредственно интегрированием по частям, аналогичным проделанному в примере 12, или сославшись на признак Абеля—Дирихле. Таким образом, исходный интеграл имеет смысл при

В том случае, когда подынтегральная функция не ограничена в окрестности одной из внутренних точек и отрезка интегрирования полагают

требуя, чтобы оба стоящих справа интеграла существовали.

Пример 17. В смысле соглашения (13)

Пример 18. Интеграл — не определен.

Существует и отличное от (13) соглашение о вычислении интеграла от функции, неограниченной в окрестности внутренней точки и отрезка интегрирования. А именно, полагают

если стоящий справа предел существует. Этот предел называют, следуя Коши, интегралом в смысле главного значения и, чтобы отличить определения (13) и (14), во втором случае перед знаком интеграла ставят начальные буквы V. Р. французских слов valeur principal (главное значение). В англоязычном варианте используется обозначение . (от principal value).

В соответствии с этим соглашением имеем

Пример 19.

Принимается также следующее определение:

Пример 20.

Наконец, если на промежутке интегрирования имеется несколько (конечное число) тех или иных особенностей, лежащих внутри промежутка или совпадающих с его концами, то неособыми точками промежуток разбивают на конечное число таких промежутков, в каждом из которых имеется только одна особенность, а интеграл вычисляют как сумму интегралов по отрезкам разбиения.

Можно проверить, что результат такого расчета не зависит от произвола в выборе разбиения.

Пример 21. Точное определение интегрального логарифма теперь можно записать в виде

В последнем случае символ V. Р. относится к единственной внутренней для промежутка особенности, расположенной в точке 1. Заметим, что в смысле определения (13) этот интеграл не является сходящимся.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление