Математический анализ. Часть II.

  

Зорич В. А. Математический анализ: Учебник. Ч. II. — М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 640 с.

В книге отражена ставшая более тесной связь курса классического анализа с современными математическими курсами (алгебры, дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, комплексного и функционального анализа).

Во вторую часть учебника включены следующие разделы: Многомерный интеграл. Дифференциальные формы и их интегрирование. Ряды и интегралы, зависящие от параметра (в том числе ряды и преобразования Фурье, а также асимптотические разложения).

Текст снабжен вопросами и задачами, дополняющими материал книги и существующих задачников по анализу.

Органической частью текста являются примеры приложений развиваемой теории, которыми часто служат содержательные задачи механики и физики.

Для студентов университетов, обучающихся по специальности «Математика» и «Механика». Может быть полезна студентам факультетов и вузов с расширенной программой по математике, а так же специалистам в области математики и ее приложений.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
2. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства.
3. Подпространство метрического пространства.
4. Прямое произведение метрических пространств.
§ 2. Топологическое пространство
2. Подпространство топологического пространства.
3. Прямое произведение топологических пространств.
§ 3. Компакты
2. Метрические компакты.
§ 4. Связные топологические пространства
§ 5. Полные метрические пространства
2. Пополнение метрического пространства.
§ 6. Непрерывные отображения топологических пространств
2. Непрерывные отображения.
§ 7. Принцип сжимающих отображений
ГЛАВА X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ С БОЛЕЕ ОБЩЕЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
2. Норма в линейном пространстве.
3. Скалярное произведение в векторном пространстве.
§ 2. Линейные и полилинейные операторы
2. Норма оператора.
3. Пространство непрерывных операторов.
§ 3. Дифференциал отображения
2. Общие законы дифференцирования.
3. Некоторые примеры.
4. Частные производные отображения.
§ 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее использования
2. Некоторые примеры применения теоремы о конечном приращении.
§ 5. Производные отображения высших порядков
2. Производная по вектору и вычисление значений n-го дифференциала.
3. Симметричность дифференциалов высшего порядка.
4. Некоторые замечания.
§ 3. Формула Тейлора и исследование экстремумов
2. Исследование внутренних экстремумов.
3. Некоторые примеры.
§ 7. Общая теорема о неявной функции
ГЛАВА XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке
2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
3. Критерий Дарбу.
§ 2. Интеграл по множеству
2. Интеграл по множеству.
3. Мера (объем) допустимого множества.
§ 3. Общие свойства интеграла
2. Аддитивность интеграла.
3. Оценки интеграла.
§ 4. Сведение кратного интеграла к повторному
2. Некоторые следствия.
§ 5. Замена переменных в кратном интеграле
2. Измеримые множества и гладкие отображения.
3. Одномерный случай.
4. Случай простейшего диффеоморфизма в R^n.
5. Композиция отображений и формула замены переменных.
6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в интеграле.
7. Некоторые следствия и обобщения формулы замены переменных в кратных интегралах.
§ 6. Несобственные кратные интегралы
2. Мажорантный признак сходимости несобственного интеграла.
3. Замена переменных в несобственном интеграле.
ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В R^n
§ 2. Ориентация поверхности
§ 3. Край поверхности и его ориентация
2. Согласование ориентации поверхности и края.
§ 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве
§ 5. Начальные сведения о дифференциальных формах
2. Координатная запись дифференциальной формы.
3. Внешний дифференциал формы.
4. Перенос векторов и форм при отображениях.
5. Формы на поверхностях.
ГЛАВА XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2. Определение интеграла от формы по ориентированной поверхности.
§ 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода
2. Площадь поверхности как интеграл от формы.
3. Форма объема.
4. Выражение формы объема в декартовых координатах.
5. Интегралы первого и второго рода.
§ 3. Основные интегральные формулы анализа
2. Формула Гаусса — Остроградского.
3. Формула Стокса в R^3.
4. Общая формула Стокса.
ГЛАВА XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 1. Дифференциальные операции векторного анализа
2. Векторные поля и формы в R^3.
3. Дифференциальные операторы rad, rot, div и V.
5. Векторные операции в криволинейных координатах.
§ 2. Интегральные формулы теории поля
2. Физическая интерпретация div, rot, grad.
3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы.
§ 3. Потенциальные поля
2. Необходимое условие потенциальности.
3. Критерий потенциальности векторного поля.
4. Топологическая структура области и потенциал.
5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы.
§ 4. Примеры приложений
2. Уравнение неразрывности.
3. Основные уравнения динамики сплошной среды.
4. Волновое уравнение.
ГЛАВА XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ
2. Алгебра кососимметрических форм.
3. Линейные отображения линейных пространств и сопряженные отображения сопряженных пространств.
§ 2. Многообразие
2. Гладкие многообразия и гладкие отображения.
3. Ориентация многообразия и его края.
4. Разбиение единицы и реализация многообразий в виде поверхностей в R^n.
§ 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях
2. Дифференциальная форма на многообразии.
3. Внешний дифференциал.
4. Интеграл от формы по многообразию.
§ 4. Замкнутые и точные формы на многообразии
2. Гомологии и когомологии.
ГЛАВА XVI. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД РЯДАМИ И СЕМЕЙСТВАМИ ФУНКЦИЙ
§ 1. Поточечная и равномерная сходимость
2. Постановка основных вопросов.
3. Сходимость и равномерная сходимость семейства функций, зависящих от параметра.
4. Критерий Коши равномерной сходимости.
§ 2. Равномерная сходимость рядов функций
2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.
§ 3. Функциональные свойства предельной функции
2. Условия коммутирования двух предельных переходов.
3. Непрерывность и предельный переход.
4. Интегрирование и предельный переход.
5. Дифференцирование и предельный переход.
§ 4. Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций
2. Метрическое пространство C(K,Y).
3. Теорема Стоуна.
ГЛАВА XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра.
3. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра.
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
2. Предельный переход под знаком несобственного интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
3. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру.
4. Интегрирование несобственного интеграла по параметру.
§ 3. Эйлеровы интегралы
2. Гамма-функция.
3. Связь между функциями В и Г.
4. Некоторые примеры.
§ 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях
2. Некоторые общие свойства свертки.
3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимационная теорема Вейерштрасса.
4. Начальные представления о распределениях
§ 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра
2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра.
3. Несобственные интегралы с переменной особенностью.
4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в многомерном случае.
ГЛАВА XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье
2. Коэффициенты Фурье.
3. Ряд Фурье.
4. Об одном важном источнике ортогональных систем функций в анализе.
§ 2. Тригонометрический ряд Фурье
2. Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов Фурье.
4. Полнота тригонометрической системы
§ 3. Преобразование Фурье
2. Регулярность функции и скорость убывания ее преобразования Фурье.
3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье.
4. Примеры приложений.
ГЛАВА XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
§ 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд
2. Общие сведения об асимптотических рядах.
3. Степенные асимптотические ряды.
§ 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа)
2. Принцип локализации для интеграла Лапласа.
3. Канонические интегралы и их асимптотика.
4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа.
5. Асимптотические разложения интегралов Лапласа.
ЛИТЕРАТУРА
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ