Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Метрические компакты.

Далее мы установим некоторые свойства метрических компактов, т. е. метрических пространств, являющихся компактами, как топологические пространства с топологией, индуцированной метрикой.

Определение 2. Говорят, что множество является -сетью в метрическом пространстве если для любой точки найдется точка такая, что .

Лемма 4 (о конечной -сети). Если метрическое пространство — компакт, то для любого в нем имеется конечная -сеть,

Для каждой точки берем открытый шар . Из открытого покрытия этими шарами выделяем конечное покрытие . Точки очевидно, образуют искомую -сеть.

Наряду с рассуждениями, в которых выделяют конечные покрытия, в анализе часто встречаются рассуждения, в которых из произвольной последовательности извлекают сходящуюся подпоследовательность. Оказывается справедливо следующее

Утверждение 2 (критерий метрического компакта). Метрическое пространство является компактом в том и только в том случае, когда из любой последовательности его точек можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из

Сходимость последовательности к некоторой точке а как и прежде, означает, что для любой окрестности точки найдется номер такой, что при будем иметь

Подробнее о пределе мы будем говорить ниже в § 6.

Доказательству утверждения 2 предпошлем две леммы.

Лемма 5. Если метрическое пространство таково, что из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся в подпоследовательность, то для любого имеется конечная -сеть.

Если бы для некоторого не было конечной -сети, то в можно построить последовательность точек так, что при любом и любом значении Из этой последовательности, очевидно, нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.

Лемма 6. Если метрическое пространство таково, что из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся в подпоследовательность, то любая последовательность сложенмых замкнутых непустых подмножеств такого пространства имеет непустое пересечение.

Если — указанная последовательность замкнутых в множеств, то, взяв в каждом из них по точке,

получим последовательность из которой извлечем сходящуюся подпоследовательность Ее предел по построению обязан принадлежать каждому из замкнутых множеств

Теперь докажем утверждение 2.

Сначала проверим, что если — компакт, а — последовательность его точек, то из неег можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке Если последовательность имеет всего конечное число различных значений, то утверждение очевидно, поэтому можем считать, что последовательность имеет бесконечно много различных значений. Для конечную -сеть и берем тот замкнутый шар который содержит бесконечное число членов последовательности. По лемме 3 шар сам является компактом, в котором существует конечная сеть и ее шар , содержащий бесконечно много элементов последовательности. Так возникает последовательность вложенных компактов, имеющих по лемме 2 общую точку Выбирая в шаре точку последовательности, затем в шаре точку последовательности с номером получим подпоследовательность которая по построению сходится к а.

Докажем теперь обратное утверждение, т. е. проверим, что если из любой последовательности точек метрического пространства можно выделить сходящуюся в подпоследовательность, то — компакт.

В самом деле, если из некоторога открытого покрытия пространства нельзя выделить конечное покрытие; то, построив в силу леммы 5 конечную -сеть в найдем замкнутый шар , который тоже нельзя покрыть конечным набором множеств системы

Этот шар теперь можно считать исходным множеством и, построив в нем конечную -сеть, найти в нем шар , который не допускает конечного покрытия множествами системы

Получаемая таким образом последовательность вложенных замкнутых множеств в силу имеет, и как видно из построения, только одну общуй точку , Эта точка покрыта некоторым множеством вашей системы, и, поскольку открыто, все множества при достаточно больших значениях должны лежать в Полученное противоречие завершает доказательство утверждения 2.

Задачи и упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление