Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Связные топологические пространства

Определение 1. Топологическое пространство называется связным, если в нем нет других открыто-замкнутых подмножеств, кроме самого X и пустого множества.

Это определение становится более прозрачным с точки зрения нашей интуиции, если ему придать следующую форму.

Топологическое пространство связно тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде объединения двух непростых замкнутых (открытых) подмножеств без общих точек.

Определение 2. Множество Е в топологическом пространстве называется связным, если оно связно как топологическое подпространство (с индуцированной топологией).

Из этого определения и определения 1 вытекает, свойство множества Е быть связным не зависит от объемлющего пространства. Точнее, если — топологическке пространства, содержащие Е и индуцирующие на Е одну и ту же топологию» то Е связно или нет одновременно как в X, так .

Пример 1. Пусть Множество непусто, не совпадает с то же время открыто-замкнуто в Е (как и если рассматривать Е как топологическое пространство с топологией, индуцированной стандартной топологией Таким образом, Е не связно, как и подсказывает наша интуиция.

Утверждение (о связных подмножествах Не пустое множество связно тогда и только тогда, когда для любых принадлежащих Е, из следует, что

Таким образом, на прямой связными являются только промежутки (конечные или бесконечные): интервалы, полуинтервалы, отрезки.

Необходимость. Пусть связное подмножество тройка точек с такова, что а . но хотя

Полагая внднм, что Кроме того, и оба множества А, В открыты в Е. Это противоречит связности Е.

Достаточность. Пусть Е — подпространство обладающее тем свойством, что вместе с любой парой точек а и ему принадлежит и всякая промежуточная точка отрезка Покажем, что Е связно.

Предположим, что А — открыто-замкнутое подмножество Е, причем Пусть . Для определенности будем считать, что так как Рассмотрим точку Поскольку имеем . Ввиду замкнутости А в Е заключаем, что .

Рассматривая теперь точку , аналогично, ввиду замкнутости В заключаем, что . Таким образом, поскольку Но из определений и того, что теперь вытекает, что ни одна точка интервала не может принадлежать Е. Это противоречит исходному свойству Е. Таким образом, множество Е не может иметь подмножества А с указанными свойствами, что и доказывает связность Е.

Задачи и упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление