Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.

Утверждение 2. Если на прямоугольнике функция непрерывна и имеет непрерывную частную производную по у, то интеграл (2) принадлежит классу причем

Формулу (5) дифференцирования собственного интеграла (2) по параметру часто называют формулой или правилом Лейбница.

Проверим непосредственно, что если то можно вычислить по формуле (5):

По условию поэтому на отрезке при откуда следует, что при

Замечание 2. Непрерывность исходной функции использована в доказательстве лишь как достаточное условие существования всех участвующих в нем интегралов.

Замечание 3. Проведенное доказательство и использованная в нем форма теоремы о конечном приращении показывают, что утверждение 2 остается в силе, если вместо отрезка взять выпуклый компакт в любом векторном нормированном пространстве. При этом, очевидно, можно еще считать, что принимает значения в некотором полном векторном нормированном пространстве.

В частности, и это порой бывает весьма полезно, формула (5) применима и к комплекснозначным функциям комплексного переменного и к функциям от векторного параметра

В последнем случае конечно, можно расписать покоординатно в виде и получить из (5) соответствующие частные производные функции

Пример 2. Проверим, что функция удовлетворяет уравнению Бесселя

Действительно, выполнив дифференцирования в соответствии с формулой (5), после простых преобразований находим

Пример 3. Полные эллиптические интегралы

как функции параметра называемого модулем соответствующего эллиптического интеграла, связаны соотношениями

Проверим, например, первое из них. По формуле (5)

Пример 4. Иногда применение формулы (5) позволяет даже вычислить интеграл. Пусть

Согласно формуле (5)

откуда .

Величину с тоже легко найти, если заметить, что при с одной стороны, , с другой стороны, из определения с учетом равенства при получается, что

Значит,

Утверждение 2 можко несколько усилить Утверждение 2. Пусть на прямоугольнике функция непрерывна и имеет непрерывную частную производную пусть далее а такие непрерывные на функции, что при любом их значения лежат на отрезке Тогда интеграл

определен при любом принадлежит классу и справедлива формула

В соответствии с правилом дифференцирования интеграла по пределам интегрирования и с учетом формулы (5) можно сказать, что функция

при условиях, что имеет следующие частные производные:

С учетом утверждения 1 заключаем, что все частные производные функции Ф непрерывны в ее области определения. Значит, Ф — непрерывно дифференцируемая функция. Теперь формула (8) получается дифференцированием сложной функции

Пример 5. Пусть

где — непрерывная на промежутке интегрирования функция. Проверим, что

При

По формуле (8) при находим

Применяя принцип индукции, заключаем, что действительно при любом

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление