Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Гамма-функция.

а. Область определения.

Из формулы (2) видно, что задающий функцию Г интеграл сходится в нуле лишь при а на бесконечности, за счет быстро убывающего множителя сходится при любом значении

Таким образом, функция Г определена при

b. Гладкость и формула для производных.

Функция Г бесконечно дифференцируема, причем

Проверим сначала, что при любом фиксированном значении интеграл (7) сходится равномерно, относительно параметра а на каждом отрезке

Если то (поскольку при найдется число такое, что

при Значит, на основании мажорантного признака равномерной сходимости можно заключить, что интеграл

сходится равномерно по. а на промежутке

Если

и аналогично заключаем, что интеграл

сходится равномерно по а на промежутке

Совмещая эти выводы, получаем, что интеграл (7) сходится равномерно на любом отрезке

Но при этих условиях дифференцирование под знаком интеграла (1) законно. Значит, на любом таком отрезке а следовательно и на всем промежутке функция Г бесконечно дифференцируема и справедлива формула (8).

c. Формула понижения.

Имеет место соотношение

называемое формулой понижения для гамма-функции.

Интегрируя по частям, находим, что при

Поскольку заключаем, что при

Таким образом, функция Г оказалась тесно связанной с теоретико-числовой арифметической функцией

d. Формула Эйлера — Гаусса.

Так обычно называют следующее равенство:

Для его доказательства сделаем в интеграле (2) замену переменной и получим новое интегральное представление функции Г:

В примере 3 § 3 гл. XVI было показано, что последовательность функций монотонно возрастая, сходится на промежутке к функции при . Используя следствие 2 из § 2 (см. также пример 10 из § 2), заключаем, что при

Сделав в последнем интеграле замену переменной из (12), (13), (1), (3) и (5), получаем

Применяя к уже доказанному для соотношению формулы понижения (4) и (9), убеждаемся в справедливости формулы (11) при всех

e. Формула дополнения.

При значения а и аргумента функции Г называют взаимно дополнительными, поэтому равенство

Называют формулой дополнения для гамма-функции.

Используя формулу Эйлера — Гаусса (11), после простых тождественных преобразований находим, что

Итак, при

Но имеет место классическое разложение

(Сейчас мы не останавливаемся на его доказательстве, поскольку позже, при рассмотрении рядов Фурье, оно будет получено в качестве простого примера использования общей теории; см. гл. XVIII, § 2, пример 6.)

Сопоставляя соотношения (15) и (16), приходим к формуле (14).

Из формулы (14), в частности, следует, что

Заметим, что

и, таким образом мы вновь получаем значение интеграла Эйлера — Пуассона:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление