Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Некоторые примеры.

Рассмотрим в заключение небольшую группу взаимосвязных примеров, в которых встречаются введенные здесь специальные функции В и Г.

Пример 1.

Для доказательства достаточно в интеграле сделать замену переменной

Используя формулу (18), интеграл (19) можно выразить через функцию Г. В частности, с учетом (17) получаем

Пример 2. Одномерный шар радиуса — это попросту отрезок, а его (одномерный) объем — это длина 2г такого отрезка. Итак,

Если считать, что -мерный) объем -мериого шара радиуса выражается формулой то, интегрируя по сечениям (см. пример 3 § 4 гл. XI), получаем

т. е. , где

Благодаря соотношениям (20) последнее равенство можно переписать в виде

таким образом,

или, короче,

Но поэтому

Следовательно,

или, что то же самое,

Пример 3. Из геометрических соображений ясно, что где -мерная площадь сферы, ограничивающей в n-мерный шар радиуса

Таким образом, и с учетом формулы (21) получаем

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление