Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра.

Если в интеграле (1) неограничены множество или функция то он понимается как несобственный кратный интеграл (см. гл. XI, § 6), т. е. как предел собственных интегралов, взятых по множествам соответствующего исчерпания X. При исследовании кратных несобственных интегралов, зависящих от параметра, как правило, интересуются специальными исчерпаниями, подобными тем, которые мы рассматривали в одномерном случае. В полном соответствии с одномерным случаем из области интегрирования X при этом удаляют -окрестность множества особых точек, находят интеграл по оставшейся части множества X и затем находят предел значений интегралов по при

Если указанный предельный переход является равномерным относительно параметра то говорят, что несобственный интеграл (1) сходится равномерно на У.

Пример 1. Интеграл

получается предельным переходом

и, как легко проверить, используя полярные координаты, он сходится при Далее, на множестве он сходится равномерно, поскольку при

а последний интеграл стремится к нулю, когда (исходный интеграл сходится при

Пример 2. Пусть, как всегда, — шар радиуса с центром и пусть Рассмотрим интеграл

Переходя к полярным координатам в убеждаемся, что данный интеграл сходится лишь при Если значение фиксировано, то по параметру у интеграл сходится равномерно на любом компакте поскольку в этом случае

Отметим, что в рассмотренных примерах множество особых точек интеграла не зависело от параметра. Таким образом, если принять указанное выше понимание равномерной сходимости несобственного интеграла с фиксированным множеством особых точек, то ясно, что все основные свойства таких кратных несобственных интегралов, зависящих от параметра, получаются из соответствующих свойств собственных кратных интегралов и теорем о предельном переходе для семейств функций, зависящих от параметра.

Мы не останавливаемся на переизложении этих в принципе уже знакомых нам фактов, а предпочтем использовать развитый аппарат при рассмотрении следующей весьма важной и часто встречающейся ситуации, когда особенность несобственного интеграла (одномерного или кратного) сама зависит от параметра.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление