4. Полнота тригонометрической системы
а. Теорема о полноте.
В заключение вернемся вновь от поточечной сходимости ряда Фурье к его сходимости в среднем (10). Точнее, используя накопленный факты о характере поточечной сходимости ряда Фурье, дадим независимое от уже встречавшегося в задачах доказательство полноты в

тригонометрической системы

При этом, как и в

под

или

понимается линейное пространство вещественно- или комплекснозначных функций,
локально интегрируемых на промежутке
и имеющих интегрируемый на
бы в несобственном смысле) квадрат модуля; это векторной пространство предполагается наделенным стандартным скалярным произведением (7), порождающим норму, сходимость по которой и есть сходимость в среднем (10).
Теорема 6 (о полноте тригонометрической системы). Любая функция
мвжет быть сколь угодно точно приближена в среднем.
a) финитными на
интегрируемыми по Риману на от резке
функциями;
b) кусочно постоянными на отрезке
функциями,
с) непрерывными и финитными на отрезке
функциями; d) тригонометрическими полиномами.
Поскольку теорему, очевидно, достаточно доказать для вещественнозначных функций, то мы и ограничимся этим случаем.
a) Из определения несобственного интеграла следует, что
Значит, каково бы ни было число
найдется число
такое, что функция
будет отличаться в среднем на
от
меньше, чем на
поскольку
b) Достаточно проверить, что любую функцию вида
можно в
аппроксимировать кусочйо постоянными финитными на
функциями. Но функция
уже интегрируема по Риману на отрезке
. Значит, она ограничена на нем некоторой постоянной. М и, кроме того, существует такое разбиение —
этого отрезка, что соответствующая ему нижняя интегральная сумма
Дарбу
функции
обличается от интеграла
по отрезку
меньше чем на
Полагая теперь
получим, что
и, значит, действительно
можно скол угодно Точно в среднем на отрезке
аппроксимировать кусочно постоянными на этом отрезке функциями, обращающимися в нуль в окрестности концов отрезка
Теперь уже достаточно научиться приближать в среднем указанные в
функции. Пусть
— такая функция. Все ее точки разрыва
лежат в интервале
Их конечное число, поэтому, каково бы ни было число
можно подобрать число
столь маленькое, что
-окрестности точек
не пересекаются, содержатся строго внутри интервала
где
Заменяя теперь функцию
на отрезках
линейной функцией, интерполирующей значения
которые функция
принимает на концах соответствующего
мы получим кусочно линейную непрерывную и финитную на
функцию
По построению
на
, значит,
и возможность аппроксимации доказана.
Осталось показать, что тригонометрическим полиномом можно в среднем на отрезке
приблизить любую функцию класса с). Но ведь при любом
для любой функции типа
по теореме 5 найдется тригонометрический многочлен
равномерно с точностью до
аппроксимирующий на отрезке
.
Значит
и возможность сколь угодно точной аппроксимации в среднем на отрезке
любой функции класса с) посредством тригонометрических полиномов установлена.
Ссылаясь на неравенство треугольника в
, можно теперь заключить что и вся теорема 6 о полноте в
указанных классов функций тоже доказана.
Скалярное произведение и равенство Парсеваля. После доказанной полноты в
тригонометрической системы
мы на основании теоремы 1 можем утверждать, что для любой функции
имеет место равенство
или, в комплексной записи, равенство
где сходимость понимается как сходимость по норме пространства
, т. е. в среднем, а предельный переход в (34) совершается при
по суммам вида
Если переписать равенства (33), (34) в виде
то в левых частях окажутся ряды по ортонормированным системам
Значит,
на, основании общего закона вычисления скалярного произведения векторов, по их координатам в ортонормированием базисе (см. лемму 5 из § 1) можно утверждать, что для любых функций
из
справедливо равенство
или, в иной записи, равенство
где, как всегда,
В частности, при
из (35) и
получаем записанное в двух эквивалентных между собой формах классическое равенство
Парсеваля
Мы уже отмечали, что с геометрической точки зрения равенство Парсеваля можно рассматривать как бесконечномерный вариант теоремы Пифагора.
На основе равенства Парсеваля легко доказать следующее полезное
Утверждение 3 (о единственности ряда Фурье). Пусть
— функции из
. Тогда:
если тригонометрический ряд
сходится к
в среднем на отрезке
, то он является рядом Фурье функции
если функции
имеют один и тот же ряд Фурье, то они совпадают почти всюду на отрезке
в
На самом-то деле речь, конечно, идет о частном случае общего факта единственности разложения любого вектора
линейного пространства X, наделенного скалярным произведением
по ортонормированной системе
векторов X Мы и докажем этот общий факт.
Пусть
Тогда
и если
то
при любом
Значит, если
то
пр» любом
Мы доказали тем самым, что если разложение вектора по ортонормированной системе вообще существует, то оно единственно.
В том случае, когда система
полна в X, разложение
заведомо существует для любого-вектора
причем
— коэффициенты Фурье вектора х в системе
Значит, если два вектора х и у имеют одинаковые ряды. Фурье по полной ортонормированной
системе (т. е.
то
В условиях утверждения 2 тригонометрическая система ортогональна, но не ортонормирована, одиако мы уже видели в (33), (34), что это формальное затруднение несущественно.
Замечание 11. Рассматривая в свое время ряды Тейлора
мы отметили, что различные функции класса
могут иметь одинаковые ряды Тейлора (в некоторых точках
Этот контраст с только что доказанной теоремой единственности рядов Фурье не следует слишком абсолютизировать, поскольку всякая теорема единственности относительна в том смысле, что она относится к определенному пространству и определенному виду сходимости.
—Например, в пространстве аналитических функций (т. е. функций, допускающих локально представление в виде поточечно сходящегося к «им степенного ряда
две различные функции в любой точке имеют не совпадающие тейлоровские разложения
Если в свою очередь при изучении тригонометрических рядов отказаться от пространства
и рассматривать поточечную сходимость тригонометрического рада, то, как
отмечалось (см. стр. 520], можно построить тригонометрический ряд, не все коэффициенты которого равны нулю и который тем не менее почти всюду сходится к нулю. По утверждению 2 такой нуль-ряд, конечно, не сходится к нулю в смысле среднего квадратичного уклонения.
В заключение в качестве иллюстрации использования свойств тригонометрических рядов Фурье рассмотрим следующий принадлежащий Гурвицу вывод классического изопериметрического неравенства в двумерном случае. Чтобы избавиться от громоздких выражений и Случайных технических трудностей, мы будем пользоваться комплексной записью.
Пример
Между объемом V области в евклидовом пространстве
-мерной площадью
ограничивающей область гиперповерхности, имеется соотношение
называемое изопериметрическим неравенством; здесь
объем единичного
-мерного шара в
Равенство в изопериметрическом неравенстве (39) имеет место только для шара.
Название «изопериметрическое» связано с классической геометрической задачей отыскания среди замкнутых плоских кривых данной длины
той кривой, которая ограничивает наибольшую площадь
. В этом случае неравенство (39) означает, что
Именно это неравенство мы теперь, и докажем, считая, что рассматриваемая кривая является гладкой и задана параметрически в виде
где
— натуральный параметр (длина) вдоль кривой, а функции
принадлежат классу
Условие замкнутости кривой означает, что
Перейдем от
к параметру
изменяющемуся от
до
и будем считать, что наша кривая задана в параметрическом виде
причем
Соотношения (4,1) запишем в виде одной комплекснозначной функции
где
и ввиду
Заметим, что
и, значит, при нашем выборе параметра
Учитывая далее, что
и пользуясь равенствами (42), запишем в комплексном виде формулу площади области, ограниченной замкнутой кривой (41):
Напишем теперь разложение функции
в ряд Фурье
тогда
Равенства (43) и (44) означают, в частности, что
а
В терминах коэффициентов Фурье, как следует из равенств (36), (38), полученные соотношения приобретают вид
Таким образом,
Правая часть этото равенства, очевидна, неотрицательна и обращается в нуль только при условии, что
когда
.
Итак, неравенство (40) доказано и заодно получено уравнение
той кривой, для которой оно превращается в равенство. Это комплексный вид параметрического уравнения окружности с центром в точке
комплексной плоскости и радиусу
Задачи и упражнения
(см. скан)