Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Регулярность функции и скорость убывания ее преобразования Фурье.

а. Нормировка преобразования Фурье.

Преобразование Фурье (3) и интеграл Фурье (5) мы получили как естественные континуальные аналоги коэффициентов Фурье и ряда Фурье периодической функции в тригонометрической системе Эта система не является ортонормированной, и лишь простота записи в ней тригонометрического ряда Фурье заставляет по традиции рассматривать ее вместо по существу дела значительно более естественной ортонормированной системы В этой нормированной системе ряд Фурье имеет вид , а коэффициенты Фурье определяются формулами

Аналогом таких естественных коэффициентов Фурье и такого ряда Фурье в континуальном случае были бы преобразование Фурье

и интеграл Фурье

отличающиеся от рассмотренных выше лишь нормировочным множителем.

В симметричных формулах (25), (26) практически сливаются «коэффициент» Фурье и «ряд» Фурье, поэтому в дальнейшем мы будем, по существу, интересоваться только свойствами интегрального преобразования (25), называя его нормированным преобразованием Фурье или, если не возникает недоразумений, просто преобразованием Фурье функции

Вообще интегральным оператором или интегральным преобразованием принято называть оператор А, действующий на функции по закону

где заданная функция, называемая ядром интегрального оператора, а множество, но которому происходит интегрирование и на котором считаются определенными подынтегральные функции. Поскольку у — свободный параметр из некоторого множества то есть функция на этом множестве

В математике существует ряд важных интегральных преобразований, и среди них преобразование Фурье занимает одну из самых ключевых позиций. Это обстоятельство имеет довольно глубокие корни и связано с замечательными свойствами преобразования (25), которые мы в какой-то степени опишем и продемонстрируем на деле в оставшейся части параграфа.

Итак, будем рассматривать нормированное преобразование Фурье (25).

Введем для удобства следующие обозначения:

В сравнении с прежними обозначениями это всего лишь перенормировка: Значит, в частности, соотношения (24) позволяют заключить, что

или, в более короткой записи,

По этой причине, если оператор мы будем называть преобразованием Фурье, то оператор естественно называть обратным преобразованием Фурье.

b. Гладкость функции и скорость убывания ее преобразования Фурье.

Уже из леммы Римана следует, что преобразование Фурье любой абсолютно интегрируемой на функции стремится на бесконечности к нулю. Это уже отмечалось и в доказанной выше лемме 1. Теперь мы покажем, что, подобно коэффициентам Фурье, преобразование Фурье тем быстрее стремится к нулю, чем глаже функция, от которой оно берется. Взаимный с этим факт будет состоять в том, что чем быстрее стремится к нулю функция, от которой берется преобразование Фурье, тем глаже ее преобразование Фурье.

Начнем со следующего вспомогательного утверждения.

Лемма 2. Пусть — непрерывная функция, обладающая локально кусочно непрерывной производной на Если при этом:

функция интегрируема на , то имеет предел и при , и при

функции интегрируемы на , то при

При указанных ограничениях на функции имеет место формула Ньютона — Лейбница

В условиях а) правая часть этого равенства имеет предел как при так и при

Если же имеющая пределы на бесконечности функция интегрируема на , то оба эти предела, очевидно, обязаны быть равны нулю.

Теперь докажем

Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания ее преобразования Фурье). Если и все функции абсолютно интегрируемы на то

при любом

Если k = 0, то а) тривиально верно, а следует из леммы Римана.

Пусть По лемме 2 функции стремятся к нулю при Учитывая это, выполним интегрирование по частям:

Таким образом, равенство (28) установлено.

Мы показали, что но по лемме Римана при , поэтому утверждение тоже доказано.

Ввиду почти полного совпадения прямого и обратного преобразований Фурье справедливо следующее, дополнительное к утверждению 1.

Утверждение 2 (о связи скорости убывания функции и гладкости ее преобразования фурье). Если локально интегрируемая функция такова, что функция абсолютно интегрируема на

преобразование Фурье функции принадлежит классу

имеет место неравенство

Для соотношение (29) тривиально выполнено, а непрерывность уже была доказана в лемме 1. Если то при на бесконечности имеет место оценка из которой следует абсолютная интегрируемость функции Но что позволяет, ссылаясь на равномерную по параметру сходимость соответствующих интегралов, последовательно провести их дифференцирование под знаком интеграла:

Последний интеграл по лемме 1 является функцией, непрерыв ной по на всей числовой прямой. Значит, действительно,

с. Пространство быстро убывающих функций.

Определение 4. Обозначим символом или более коротким символом совокупность всех функций , удовлетворяющих условию

каковы бы ни были неотрицательные целые числа Такие функции называют быстро убывающими (при ).

Совокупность быстро убывающих функций, очевидно, образует линейное пространство относительно стандартных операций сложения функций и умножения функции на комплексное число.

Пример 7. Функция и все финитные функции класса входят в

Лемма 3. Ограничение преобразования Фурье на 3 является автоморфизмом как линейного пространства.

Проверим, что

Для этого заметим сначала, что по утверждению ,

Далее заметим, что операция умножения на и операция дифференцирования не выводят из класса быстро убывающих функций. Значит, при любых целых неотрицательных значениях а и Р из того, что следует, что функция принадлежит пространству Ее преобразование Фурье по лемме Римана стремится к нулю на бесконечности. Но по формулам (28), (29)

и мы показали, что при т. е.

Покажем теперь, что преобразование Фурье отображает на все множество .

Напомним, что прямое и обратное преобразования Фурье связаны простым соотношением или, короче, Изменение знака аргумента функции, очевидно, является операцией, переводящей множество в себя. Значит, оператор (обратное преобразование Фурье) тоже переводит пространство в себя.

Наконец, если — произвольная функция из то, по доказанному, и по формулам получаем, что

Линейность отображения очевидна, поэтому лемма 3 теперь полностью доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление