Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Принцип локализации для интеграла Лапласа.

Лемма 1 (об экспоненциальной оценке). Пусть и пусть при некотором значении интеграл (1) сходится абсолютно. Тогда он сходится абсолютно при любом и имеепг место оценка

где

Действительно, при

Лемма 2 (об оценке вклада точки максимума). Пусть интеграл (1) сходится абсолютно при некотором значении и пусть внутри или на границе промежутка I интегрирования нашлась такая точка в которой

Если функции непрерывны в точке причем то для любого и любой достаточно малой окрестности точки в I имеет место оценки

с постоянной справедливая при

При фиксированном возьмем любую окрестность в пределах которой

Считая вещественнозначной, можем заключить теперь, что в пределах значения функции одного знака. Это позволяет

записать, что

Утверждение 1 (принцип локализации). Пусть интеграл (1) сходится абсолютно при некотором значении и пусть внутри или на границе промежутка I интегрирования нашлась такая точка что вне любой окрестности точки

Если при том функции непрерывны в точке то

где — произвольная окрестность в I,

— функция, которая есть при и любом

Пусть — такая окрестность точки в I, в пределах которой функция всюду положительна или всюду отрицательна в соответствии со значением Тогда, очевидно,

какова бы ни была окрестность Из леммы 2 теперь следует, что, каково бы ни было найдется такая постоянная что

Тем самым, мы доказали, что если в пределах окрестности точки функция не меняет знака, то, каково бы ни было, число при финально выполняется неравенство

Вместе с тем в силу леммы 1 для любой окрестности точки справедлива оценка

где

Сопоставляя эту оценку с неравенством (9), легко заключить, что оно финально при имеет место на самом-то деле для любой окрестности точки а не только для такой, в пределах которой функция не меняет знак.

Теперь остается написать, что

и, сославшись на оценки (9), (10), заключить о справедливости соотношения (8).

Итак, установлено, что с относительной погрешностью порядка при можно, описывая асимптотику интеграла Лапласа (1), заменить его интегралом по сколь угодно малой окрестности точки абсолютного максимума функции на промежутке интегрирования

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление