Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Норма в линейном пространстве.

Теперь дадим основное

Определение 1. Пусть X — линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел.

Функция ставящая каждому вектору в соответствие действительное число называется нормой в линейном пространстве X, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

(невырожденность);

(однородность);

(неравенство треугольника).

Определение 2. Линейное пространство с определенной на нем нормой называется линейным нормированным пространством.

Определение 3. Значение нормы на векторе называется нормой этого вектора.

Норма вектора всегда неотрицательна (и, как видно из а), равна нулю только для нулевого вектора).

Действительно, для любого в силу с) и с учетом а) и получаем

Из с) и принципа индукции следует общее неравенство

а с учетом b) из с) легко вывести также полезное неравенство

Любое линейное нормированное пространство имеет естественную метрику

То, что так определенная функция удовлетворяет аксиомам метрики, непосредственно следует из свойств нормы.

Благодаря наличию в X линейной структуры метрика в X обладает двумя дополнительными специфическими свойствами:

т. е. метрика инвариантнаотносительно переносов, и

т. е. она однородна.

Определение 4. Если линейное нормированное пространство является полным как метрическое пространство относительно естественной метрики (3), то оно называется полным нормированным пространством или банаховым пространством.

Пример 5. Если для вектора при положить

то, как следует из неравенства Минковского, мы получим норму в Пространство наделенное этой нормой, будем обозначать символом

Можно проверить, что

и что

при Таким образом, естественно положить

Тогда из (4) и (5) следует, что

Из этого неравенства, как, впрочем, и из самого определения (4) нормы видно, что является полным нормированным пространством.

Пример 6. Предыдущий пример полезно обобщить следующим образом. Если есть прямое произведение нормированных пространств, то в X можно ввести норму вектора

положив

где есть норма вектора пространстве

Естественно, неравенства (8) и в этом случае остаются в силе. В дальнейшем, когда рассматривается прямое произведение нормирований пространств, всегда, если нет специальных оговорок, предполагается, что в нем норма определена в соответствии с формулой (9) (включая случай

Пример 7. Пусть 1. Обозначим через множество таких последовательностей действительных или комплексных чисел, что ряд сходится, и для положим

Используя неравенство Минковского, легко видеть, что является линейным нормированным пространством относительно стандартных линейных операций и нормы (10). Это бесконечномерное пространство, по отношению к которому является линейным подпространством конечной размерности.

Для нормы (10) справедливы все неравенства (8), кроме последнего. Нетрудно проверить, что является банаховым пространством.

Пример 8. В линейном пространстве числовых функций, непрерывных на отрезке чаще всего рассматривается следующая норма:

Проверку аксиом нормы мы оставляем читателю. Заметим, что эта норма порождает уже знакомую нам метрику (см. гл. IX, § 5) на и нам известно, что возникающее при этом метрическое пространство полно. Таким образом, линейное пространство с нормой (11) является банаховым.

Пример 9. В можно ввести и иную норму

которая сводится к (11) при

Легко видеть (см., например, гл. IX, § 5), что при пространство с нормой (12) не является полным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление