Главная > Математика > Математический анализ. Часть II. (Зорич В.А.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Скалярное произведение в векторном пространстве.

Важный класс нормированных пространств составляют пространства со скалярным произведением. Они являются прямым обобщением евклидовых пространств.

Напомним

Определение 5. Говорят, что в линейном (над полем комплексных чисел) пространстве X задана эрмитова форма, если задано отображение обладающее свойствами:

где — векторы из

Из а), b), с) следует, например, что

Эрмитова форма называется положительной, если

и невырожденной, если

Если X — линейное пространство над полем вещественных чисел, то, разумеется, надо рассматривать вещественнозначную форму . В этом случае вместо а) можно записать просто что означает симметричность формы относительно векторов-аргументов

Примером такой формы может служить знакомое из аналитической геометрии скалярное произведение векторов трехмерного евклидова пространства. В связи с этой аналогией принято

Определение 6. Невырожденную положительную эрмитову форму в линейном пространстве называют скалярным произведением в этом пространстве.

Пример 10. В скалярное произведение векторов можно определить, положив

а в - положив

Пример 11. В скалярное произведение векторов можно определить, полагая

Написанный здесь ряд сходится абсолютно, поскольку

Пример 12. В скалярное произведение можно определить формулой

Из свойств интеграла легко следует, что все требования К скалярному произведению в этом выполнены.

Для скалярного произведения справедливо следующее важное неравенство Коши — Буняковского:

Действительно, пусть По условию . Если то из

при — получим

или

что совпадает с (16).

Аналогично рассматривается случай

Если же то подставляя в получим и неравенство (16) опять справедливо.

Линейное пространство со скалярным произведением обладает естественной нормой

и метрикой

Используя неравенство Коши—Буняковского, проверим, что если — невырожденная положительная эрмитова форма, то формула (18) действительно определяет норму.

В самом деле,

поскольку форма невырожденная.

Далее

Проверим, наконец, неравенство треугольника

Нам, таким образом, следует показать, что

или после возведения в квадрат и упрощений, что

Но

и доказываемое неравенство теперь непосредственно следует из неравенства Коши — Буняковского (16).

Отметим в заключение, что линейные пространства со скалярным произведением в конечномерном случае называют обычно евклидовыми или эрмитовыми, когда полем констант является или соответственно. Если же линейное нормированное пространство бесконечной размерности, то его называют гильбертовым, если оно полно, и предгильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике, индуцированной естественной нормой в нем.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление